05-03二次関数の軸が変化する最大値、最小値(難易度2)

以下の二次関数の最大値と最小値を求めよ。ただし、aは定数とする
$y=x^2-2ax+a^2+1 \qquad (0 \leqq x \leqq 4)$

場合分けを考え、二次関数のグラフを書き、最大値と最小値を見極めましょう。

$y=f(x)=x^2-2ax+a^2+1$とおく
$y=x^2-2ax+a^2+1$
 $=(x-a)^2-a^2+a^2+1$
 $=(x-a)^2+1$
となり、軸を$x=a$、点$(a,1)$を頂点とする下に凸の放物線である。
$f(0)=a^2+1$
$f(4)=4^2-2a\cdot(4)+a^2+1=a^2-8a+17$
(1)最大値について
 $a<2$のとき、この放物線は図1のようになるため、最大値は$f(4)=a^2-8a+17$である。
 $a=2$のとき、この放物線は図2のようになるため、最大値は$f(0)=f(4)=5$である。
 $a>2$のとき、この放物線は図3のようになるため、最大値$f(0)=a^2+1$である。

(2)最小値について
 $a<0$のとき、この放物線は図4のようになるため、最小値$f(0)=a^2+1$である。
 $0 \leqq a \leqq 4$のとき、この放物線は図5のようになるため、最小値$f(a)=1$である。
 $a>4$のとき、この放物線は図6のようになるため、最小値$f(4)=a^2-8a+17$である。

つまり、
$a <0$のとき、最大値$a^2-8a+17$、最小値$a^2+1$
$0 \leqq a<2$のとき、最大値$f(4)=a^2-8a+17$、最小値$1$
$a=2$のとき、最大値$5$、最小値$1$
$2<a\leqq 4$のとき、最大値$a^2+1$、最小値$1$
$4<a$のとき、最大値$a^2+1$、最小値$a^2-8a+17$


二次式の最大値と最小値を求める問題で場合わけを考えるとき、最大値と最小値とを別々に考えるとよいです。
なぜかというと、以下のように分ける場所が異なるためです。(※1参照)
(1)最大値について
この問題の場合、軸が$a$の値により変わるため、その軸がどこにあるかが重要となります。
定義域の左端$x=0$と右端$x=4$が、軸$x=a$と比べてどちらが遠くなるか考えます。
つまり、定義域の中心より軸が右になるか左になるかで最大値の場所が変わります。
そのため、「$a <2$のとき」と「$a=2$」と「$2<a」の3つに場合わけして考えています。

(2)最小値について
この問題の場合、定義域に頂点を含むか否かによって、最小値の場所が変わります。
軸$x=a$が定義域の左側、内側、右側でで場合分けすればよいので
「$a<0$のとき」と「$0 \leqq a \leqq 4$」と「$a>4$のとき」の2つに場合わけして考えています。

※1 $x^2$の係数が正(下に凸の放物線)の場合、
①最大値は、定義域の端が軸より遠いほうのどちらかが最大値となります。
②最小値は、定義域に頂点を含む場合は、頂点が最小値となり、頂点を含まない場合は、軸に近い部分が最小値となります。

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