05-02二次関数の領域が変化する最大値、最小値(難易度2)

以下の二次関数の最大値と最小値を求めよ。ただし、aは3以下の定数とする
$y=x^2-2x+2 \qquad (a \leqq x \leqq 3)$

場合分けを考え、二次関数のグラフを書き、最大値と最小値を見極めましょう。

$y=f(x)=x^2-2x+2$とおく
$y=x^2-2x+2$
 $=(x-1)^2-1+2$
 $=(x-1)^2+1$
となり、軸を$x=1$、点$(1,1)$を頂点とする下に凸の放物線である。
$f(a)=a^2-2a+2$
$f(3)=3^2-2 \cdot 3+2=9-6+2=5$
また、この放物線は、$x=1$の直線に対して対称であるため、$f(-1)=f(3)=5$である。
(1)最大値について
 $a \leqq -1$のとき、図1のようになるため、最大値は$f(a)=a^2-2a+2$である。
 $-1<a \leqq 3$のとき、図2のようになるため、最大値$f(3)=5$である。

(2)最小値について
 $a \leqq 1$のとき、図1のようになるため、最小値は$1$である。
 $1<a \leqq 3$のとき、図3のようになるため、最小値は$f(a)=a^2-2a+2$である。

つまり、
$a \leqq -1$のとき、最大値$a^2-2a+2$、最小値$1$
$-1<a\leqq 1$のとき、最大値$5$、最小値$1$
$1<a\leqq 3$のとき、最大値$5$、最小値$a^2-2a+2$


二次式の最大値と最小値を求める問題で場合わけを考えるとき、最大値と最小値とを別々に考えるとよいです。
なぜかというと、以下のように分ける場所が異なるためです。(※1参照)
(1)最大値について
この問題の場合、軸が$x=1$にあり、定義域の右端が$x=3$であるため、軸と右端との距離は$2$です。
つまり、定義域の左端の$x=a$が、$x=-1$よりも遠いかどうかで、最大値の場所が変わります。
そのため、「$a \leqq -1$のとき」と「$-1<a \leqq 3$のとき」の2つに場合わけして考えています。

(2)最小値について
この問題の場合、定義域に頂点を含むか否かによって、最小値の場所が変わります。
そのため、「$a \leqq 1$のとき」と「$1<a \leqq 3$のとき」の2つに場合わけして考えています。

※1 $x^2$の係数が正(下に凸の放物線)の場合、
①最大値は、定義域の端が軸より遠いほうのどちらかが最大値となります。
②最小値は、定義域に頂点を含む場合は、頂点が最小値となり、頂点を含まない場合は、軸に近い部分が最小値となります。

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