04-03二次関数の平行、対称移動(難易度2)

関数を$y$軸に対称移動し、$x$軸に$+2$、y軸に$-1$平行移動すると、$y=-x^2+2x+3$の関数となった。
元の関数を求めよ

対称移動と平行移動したときの、変数の置き換えを使います。

$y=f(x)=y=-x^2+2x+3$とおくと、元の関数は$y=f(x)$を$x$軸に$-2$、$y$軸に$+1$平行移動し、$y$軸に対称移動した関数となる。
$x$軸に$-2$、$y$軸に$+1$平行移動した関数は$y=f(x+2)+1$となり、
さらに、y軸に対称移動した関数は、$y=f(-x+2)+1$となるので、求める関数は、
$y=f(-x+2)+1$
 $=-(-x+2)^2+2(-x+2)+3+1$
 $=-(x^2-4x+4)-2x+4+3+1$
 $=-x^2+2x+4$
つまり、元の関数は、$y=-x^2+2x+4$

元の関数に対して、
①$y$軸に対称移動
②$x$軸に$+2$、y軸に$-1$平行移動
したということは、②の逆の移動した後、①の逆の移動を行えば元の関数となります。
$x$軸に$p$、$y$軸に$q$平行移動させた関数が$y=f(x-p)+q$となる法則と
$y$軸に対称な関数は$y=f(-x)$となる法則を利用します。
移動するたびに計算すると、計算が大変になるため、置き換えのみを先にやってしまうと、計算量を減らせます。

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