01-02数式の加法・減法・乗法(難易度2)

以下の数式を展開せよ
①$(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)$
②$(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

①三次式の展開公式
②同じような式を作り、置換して計算を減らす

①$(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)$
 $=x^3+y^3+1^3-3xy$
 $=x^3+y^3-3xy+1$
②$(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$
 $=(x-2)(x-5)(x-3)(x-4)$
 $=(x^2-7x+10)(x^2-7x+12)$
 $X=x^2-7x$とおくと、上式は$(X+10)(X+12)$となる。
 $(X+10)(X+12)$
 $=X^2+22X+120$
 $=(x^2-7x)^2+22(x^2-7x)+120$
 $=(x^4-14x^3+49x^2)+22x^2-154x+120$
 $=x^4-14x^3+71x^2-154x+120$

①展開公式$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$を使います。
 $a$を$x$、$b$を$y$、$c$を$1$と考えれば、展開の公式を使えます。
 $1=1^2=1^3$であること利用し、気づきにくくしています。
②ひとつずつ展開していくと計算量が多くなるため、同じような式を作り、置換して計算を減らします。
 ひとつを展開すると$x^2+bx+c$の形になることに注目し、$b$もしくは$c$が同じになるように組み合わせを考えましょう。

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