05-02二次関数の最大値、最小値(難易度1)

以下の二次関数の最大値と最小値を求めよ
(1)$y=2x^2+4x+5 \qquad (-3 \leqq x \leqq 0)$  (2)$y=-x^2-2x+1 \qquad (1 \leqq x \leqq 2)$

二次関数のグラフを書き、最大値と最小値を見極めましょう。

(1)$y=f(x)=2x^2+4x+5$とおく
$y=2x^2+4x+5$
 $=2(x+1)^2-2+5$
 $=2(x+1)^2+3$
$f(-3)=2(-3)^2+4(-3)+5=18-12+5=11$
$f(0)=5$
よって、与えられた関数は$(-1,3)$を頂点とする下に凸の放物線となり、以下のグラフとなる。

つまり、最大値$11$、最小値$3$

(2)$y=f(x)=-x^2-2x+1$とおく
$y=-x^2-2x+1$
 $=-(x+1)^2+1+1$
 $=-(x+1)^2+2$
$f(1)=-1^2-2\cdot1+1=-1-2+1=-2$
$f(2)=-2^2-2\cdot2+1=-4-4+1=-7$
よって、与えられた関数は$(-1,3)$を頂点とする上に凸の放物線となり、以下のグラフとなる。

つまり、最大値$-2$、最小値$-7$


(1)下の凸の放物線の最大値は、領域の端のどちらかになります。
下の凸の放物線の最小値は、頂点を含む場合は頂点となり、含まない場合は領域の端のどちらかになります。
これらの性質を理解した上で、グラフを書き、最大値を最小値を求めます。
(2)上に凸の放物線では、最大値と最小値が逆の性質になります。
上の凸の放物線の最大値は、頂点を含む場合は頂点となり、含まない場合は領域の端のどちらかになります。
上の凸の放物線の最小値は、領域の端のどちらかになります。
これらの性質を理解した上で、グラフを書き、最大値を最小値を求めます。

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