08-01対称式(二項)をつかった計算(難易度1)

$x=1+\sqrt{2} \qquad y=1-\sqrt{2}$とするとき、以下の式の値を求めよ
(1)$x^2+y^2$  (2)$x^3+y^3$  (3)$x^4+y^4$

(1)(2)(3)対称式であることを利用する

(1)$x+y=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2 \qquad xy=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-2=-1$
 $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=2^2-2\cdot(-1)=6$
(2)$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=2^3-3\cdot(-1)\cdot2=8+6=14$
(3)$x^4+y^4=(x^3+y^3)(x+y)-x^3y-xy^3=(x^3+y^3)(x+y)-xy(x^2+y^2)$
     $=14\cdot2-(-1)\cdot6=28+6=34$

そのまま代入して計算しても良いが、計算が非常に複雑になるので、対称式であることを利用します。
与式の$x$と$y$を入れ替えても同じ式になるので、対称式とわかります。
対称式は、基本対称式$x+y$と$xy$で表すことができるので、うまく変形しましょう。
(1)(2)の式は、二次の展開式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、三次の展開式$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$を変形して基本対称式にします。
(3)の高次式はよく出てくる形で、$(x^3+y^3)(x+y)$のような形で変形させます。
このとき、$3$乗$\times1$乗ではなく、$2$乗$\times2$乗の$(x^2+y^2)^2$のような形で変形させても良いです。
$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=6^2-2\cdot(-1)^2=36-2=34$となり、答えは同じになります。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする