06-01二重根号をはずす(難易度1)

以下の二重根号をはずして簡単にしなさい
①$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$  ②$\sqrt{5+\sqrt{21}}$

①$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$を利用する
②内側のルートの中に$2\sqrt{ab}$をどうやって作るか考える

①$\sqrt{9+2\sqrt{18}}=\sqrt{(3+6)+2\sqrt{3 \cdot 6}}=\sqrt{3}+\sqrt{6}$
②$\sqrt{5+\sqrt{21}}=\sqrt{\cfrac{(5+\sqrt{21}) \cdot 2}{2}}=\sqrt{\cfrac{(10+2\sqrt{21})}{2}}$
$=\sqrt{ \cfrac{(3+7)+2\sqrt{3 \cdot 7}} {2} } =\cfrac{ \sqrt{3}+\sqrt{7} } {\sqrt{2}}=\cfrac{ \sqrt{6}+\sqrt{14} } {2}$

①$18$の約数を考え、$1\times18、2\times9、3\times*$のうち2つの数字を足すと$9$になるものを見つけます。
 あとは、二重根号を展開する$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$を利用します。
②内側のルートの中に$2\sqrt{ab}$がないため、分子と分母に$2$をかけて、強引に作ります。
 あとは、二重根号を展開する方法を使い、二重根号をはずしていきます。
 最後に分母の有利化を忘れないように気をつけましょう。

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