03-01実数で特に理解しておきたいところ

実数で特に理解しておきたいところでは、以下のような法則や公式があります。
ここでは、用語の定義をしっかりと理解しておく必要があります。
また、絶対値と平方根の性質について理解する必要があります。

1.実数の種類
 ①実数は、有理数と無理数がある
 ②有理数は、整数と有限小数と循環小数がある。
 ③有限小数と循環小数は、分数で表すことができる
 ④無理数は、循環しない無限小数になる

\begin{equation*}
実数= \left \{
\begin{array}{l}
有理数 \left \{
\begin{array}{l}
整数(\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots)\\
有限小数(0.5,\cfrac{1}{2}など)\\
循環小数(0.33333\cdots,\cfrac{1}{3}など)
\end{array}
\right. \\
無理数
\end{array}
\right.
\end{equation*} 
 ⑤循環小数を分数にする方法
  循環している桁数に注目し、$1$桁なら$10x$、$2$桁なら$100x$、$3$桁なら$1000x$とし、$1x$を引くことで循環を消すことができます。
 (例)$0.0\dot{1}2\dot{5}$を分数にします。
   $x=0.0\dot{1}2\dot{5}$と置き、循環しているのが3桁なので$1000x$から引きます。
\begin{eqnarray*}
1000x &=& 12&.&5125125 \dots \\
x &=& 0&.&0125125 \dots \\
999x &=& 12&.&5
\end{eqnarray*}
    $x=\cfrac{12.5}{999}=\cfrac{125}{9990}=\cfrac{25}{1998}$
 
2.絶対値
 ①$0$からの距離を絶対値といい、$|a|$と表し、その性質上$|a| \geqq 0$となります。
 ②式から絶対値をはずす場合は、以下の場合わけをしてはずすことができます。
\begin{equation*}
|a|= \left \{
\begin{array}{1}
a&(a\geqq 0のとき)\\
-a&(a < 0 のとき)
\end{array}
\right.
\end{equation*}

3.平方根
 ①$2$乗すると$a$になる数値を$a$の平方根というため、以下の性質があります。
 \begin{equation*}
\sqrt{a^2}=|a|= \left \{
\begin{array}{l}
a&(a\geqq 0のとき)\\
-a&(a< 0 のとき)
\end{array}
\right.
\end{equation*}
 ②公式
 $\sqrt{\cfrac{a}{b}}=\cfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$  $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$  $\sqrt{k^2a}=k\sqrt{a}$
 ただし、$A>0,b>0,k>0$
  
 4.分母の有利化
 基本的に、分母に平方根が残らない形での回答を求められます。
 そこで、$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、つまり$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$を利用し、
 分母から平方根を消す作業のことを有利化といいます。
 (例)
 $\cfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\cfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \cdot \cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}
 =\cfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$

 5.二重根号をはずす
 $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ (ただし、$a>0,b>0$)
 これは、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=\sqrt{a}^2+\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}$となることを利用しています。
 
 6.対称式
 多数の変数を持つ式において、その変数を入れ替えても元の式と変わらないものを対称式といいます。
 対称式の性質は、その式を基本対称式で表すことができます。
 (例)$x$と$y$の2変数の場合、変数の和と積だけの式$x+y$と$xy$をを基本対称式と言います。
   $f(x,y)=x^2+y^2$のような式は、$x$と$y$を入れ替えても同じ式になるので、対称式です。
   $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$と変形でき、基本対称式のみで表すことができます。
 (例)$x$と$y$と$z$の3変数の場合、変数の和と積だけの式$x+y+z$と$xy+yz+zx$と$xyz$を
   基本対称式と言います。
   よく使う対称式は以下のものがあります。
   $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$
   $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$

 6.交代式
 多数の変数を持つ式において、その変数を入れ替えると符合だけ変わるものを交代式といいます。
 対称式の性質は、2変数の場合は$(x-y)$を因数に持ちます。
 (例)
   $f(x,y)=x^2-y^2$のような式は、$x$と$y$を入れ替えると$f(y,x)=-x^2+y^2=-f(x,y)$となり交代式です。
   $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$と変形でき、$(x-y)$を因数にもちます。

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする