02-05二次方程式で表されるの図形を求める(難易度2)

次の方程式で表せる曲線はそのような図形となるか。また、その図形の焦点を求めよ
(1)$x^2+9y^2+2x-36y+28=0$ (2)$4x^2-y^2+8x+4y+4=0$

楕円や双曲線の基本形に変形しよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$x^2+9y^2+2x-36y+28=0$
 $(x+1)^2+9(y-2)^2+28-1-36=0$
 $\cfrac{(x+1)^2}{3^2}+(y-2)^2=1$・・・①
つまり
 ①の図形は、$\cfrac{x}{3^2}+y^2=1$の楕円を$x$軸に$-1$、$y$軸に$2$移動した楕円
また、
 $\cfrac{x}{3^2}+y^2=1$の焦点は、$\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{8}$より、$(\sqrt{8}、0)、(-\sqrt{8}、0)$のため
①の図形の焦点は、$(\sqrt{8}-1、2)、(-\sqrt{8}-1、2)$

(2)$4x^2-y^2+8x+4y+4=0$
 $4(x+1)^2-(y-2)^2+4-4+4=0$
 $(x+1)^2-\cfrac{(y-2)^2}{2^2}=1$・・・①
つまり
 ①の図形は、$(x+1)^2-\cfrac{(y-2)^2}{2^2}=1$の双曲線を$x$軸に$-1$、$y$軸に$2$移動した双曲線
また、
 $\cfrac{x}{3^2}+y^2=1$の焦点は、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$より、$(\sqrt{5}、0)、(-\sqrt{5}、0)$のため
①の図形の焦点は、$(\sqrt{5}-1、2)、(-\sqrt{5}-1、2)$

解説

方程式を満たす図形を求める場合は、基本形に変形します。
基本形には以下の様のあものがあり、
楕円:$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$
双曲線:$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1$
   :$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=-1$
さらに、x軸にs、y軸にt平行移動すると以下になります。
楕円:$\cfrac{(x-s)^2}{a^2}+\cfrac{(y-t)^2}{b^2}=1$
双曲線:$\cfrac{(x-s)^2}{a^2}-\cfrac{(y-t)^2}{b^2}=1$
   :$\cfrac{(x-s)^2}{a^2}-\cfrac{(y-t)^2}{b^2}=-1$

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