02-04放物線と定点からの距離の最小値を求める(難易度2)

放物線$y^2=8x$上の点$P$と$x$軸上の点$A(a、0)$の距離の最小値を求めよ

放物線上の点を$P(s、t)$とおいて考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













放物線上の点を$P(s、t)$とおくと
 $t^2=8s、s≧0$・・・①
$PA^2=(a-s)^2+t^2$
 $=(a-s)^2+8s$
 $=s^2+(8-2a)s+a^2$
 $={s-(a-4)}^2+a^2-(a-4)^2$
 $={s-(a-4)}^2+8a-16$
[1]$a-4>0$つまり$a>4$のとき
 $PA^2$は、$s=a-4$のとき最小となるので、$PA^2$の最小値は、$8a-16$となる
 $PA>0$より
  $PA$の最小値は、$\sqrt{8a-16}$
[2]$a-4≦0$つまり$a≦4$のとき
 $PA^2$は、$s=0$のとき最小となるので、$PA^2$の最小値は、$a^2$となる
 $PA>0$より
  $a≧0$のとき、$PA$の最小値は、$a$
  $a<0$のとき、$PA$の最小値は、$-a$
[1][2]より
 $a<0$のとき$4-a$、$0≦a≦4$のとき$a$、$4<a$のとき$\sqrt{8a-16}$

解説

$PA$が最小となる放物線上の点$P$の場所がわからないので、$P(s、t)$とおきます。
$PA$の長さを求めるのですが、平方根の計算をしなくて良いように$PA^2$を求めます。
$PA^2=s^2+(8-2a)s+a^2$まで進めることができたら、単なる$s$の二次関数となるので
定義域のある二次関数の最小値を求める問題となるので、簡単に解けます

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