01-12円上を移動する方程式の図形を求める(難易度3)

点$z$が原点$O$を中心とする半径$1$の円の上を動くとき、次の条件を満たす$w$はどのような図形となるか
(1)$w=(z-2)i$ (2)$w=\cfrac{z+2}{z+1}$

$|z|=1$にうまく代入しよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$w=(z-2)i$より
 $z=\cfrac{w}{i}+2$
  $=\cfrac{w+2i}{i}$
 $|z|=1$より
  $|\cfrac{w+2i}{i}|=\cfrac{|w+2i|}{|i|}=|w+2i|=1$
 つまり
  $w$は点$-2i$を中心とする半径$1$の円
(2)$w=\cfrac{z+2}{z+1}$
 $w(z+1)=z+2$
 $z(w-1)=2-w$
 $w=1$と仮定すると等式が成り立たないので、$w\neq=1$
 つまり
  $z=\cfrac{2-w}{w-1}$
 $|z|=1$より
  $\left|\cfrac{2-w}{w-1}\right|=\cfrac{|w-2|}{|w-1|}=1$
  $|w-2|=|w-1|$
 両辺を二乗して
  $|w-2|^2=|w-1|^2$
  $(w-2)(\overline{w-2})=(w-1)(\overline{w-1})$
  $(w-2)(\overline{w}-2)=(w-1)(\overline{w}-1)$
  $w\overline{w}-2w-2\overline{w}+4=w\overline{w}-w-\overline{w}+1$
  $w+\overline{w}=3$
 つまり
  点$\cfrac{3}{2}$を通り、虚軸に平行な直線

解説

点$z$が原点$O$を中心とする半径$1$の円の上を動くので、$|z|=1$を満たします。
(1)(2)ともに、$w=f(z)$の形なので、$z=g(w)$の形に変形すれば、$|g(w)|=1$とでき、
$w$のみの方程式を作ることができます。
あとは、$w$の方程式を図形を示す基本的な形式に変形します。
基本的な図形を表す式は、以下のようなものがあります。
 円:$|w-(a+bi)|=r$
 直線:$w+\overline{w}=a$
   :$w-\overline{w}=bi$

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