01-11複素数の方程式の図形を求める(難易度2)

次の条件を満たす点$z$全体は、どのような図形となるか答えよ
(1)$|z-2+i|=4$ (2)$z+\overline{z}=2$ (3)$(2z+1)(2\overline{z}+1)=16$

図形には、円や直線がありますよね。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$|z-2+i|=4$
 $|z-(2-i)|=4$より
 点$2-i$を中心とした半径$4$の円
(2)$z=x+yi$とおくと、$z+\overline{z}=2$に代入して
 $x+yi+x-yi=2$
 $x=1$
 つまり
  点$1$を通り虚軸に平行な直線
(3)$(2z+1)(2\overline{z}+1)=16$
 $(2z+1)(\overline{2z+1})=16$
 $|2z+1|^2=16$
 $4|z+\cfrac{1}{2}|^2=16$
 $|z+\cfrac{1}{2}|=2$
 つまり
  点$-\cfrac{1}{2}$を中心とした半径$2$の円

解説

(1)(3)点$a+bi$を中心とした半径$r$の円は
 $|z-(a+bi)|=r$で表すことができます。
(2)$z+\overline{z}=a$の形は、直線になります。

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