01-09極形式を使ってn乗=1を解く(難易度2)

極形式を用いて$z^8=1$を解け

極形式の$n$乗はどんな式で表せるか考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$z=r(\cosθ+i\sinθ)$とおくと
 $z^8=r^8(\cos8θ+i\sin8θ)$
 $1=1\cdot(\cos0+i\sin0)$
絶対値と偏角を比較して
 $r^8=1$より、$r=1$
 $8θ=2kπ$ ($k$は整数)より、
  $θ=\cfrac{1}{4}πk$
 $0≦θ<2π$で考えると
  $θ=0、\cfrac{1}{4}π、\cfrac{1}{2}π、\cfrac{3}{4}π、π、\cfrac{5}{4}π、\cfrac{3}{2}π、\cfrac{7}{4}π$
つまり
 $z=1\cdot(\cos0+i\sin0)=1$
 $z=1\cdot(\cos\cfrac{1}{4}π+i\sin\cfrac{1}{4}π)=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$
 $z=1\cdot(\cos\cfrac{1}{2}π+i\sin\cfrac{1}{2}π)=i$
 $z=1\cdot(\cos\cfrac{3}{4}π+i\sin\cfrac{3}{4}π)=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)$
 $z=1\cdot(\cosπ+i\sinπ)=-1$
 $z=1\cdot(\cos\cfrac{5}{4}π+i\sin\cfrac{5}{4}π)=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(-1-i)$
 $z=1\cdot(\cos\cfrac{3}{2}π+i\sin\cfrac{3}{2}π)=-i$
 $z=1\cdot(\cos\cfrac{7}{4}π+i\sin\cfrac{7}{4}π)=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1-i)$
すなわち
 $z=±1、±i、\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1±i)、-\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1±i)$

解説

複素数の方程式は、実部と虚部を比較する方法と絶対値と偏角を比較する方法があります。
また、複素数$z$の$n$乗は、$z=r(\cosθ+i\sinθ)$のとき、
 $z^n=r^n(\cos nθ+i\sin nθ)$になります。

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