01-08複素数のn乗を求める(難易度2)

$(1+i)^5$を求めよ

複素数の$n$乗は、極形式にすると計算が楽になります。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$1+i=\sqrt{2}(\cos\cfrac{1}{4}π+i\sin\cfrac{1}{4}π)$
$(1+i)^5=\sqrt{2}^5(\cos\cfrac{1}{4}π\cdot5+i\sin\cfrac{1}{4}π\cdot5)$
 $=4\sqrt{2}(\cos\cfrac{5}{4}π+i\sin\cfrac{5}{4}π)$
 $=4\sqrt{2}(-\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2}i)$
 $=-4-4i$

解説

複素数$z$のn乗は、極形式にすると計算が楽になる場合があります。
 $z=r(\cosθ+i\sinθ)$のとき、
 $z^n=r^n(\cos nθ+i\sin nθ)$になります。
以下の極形式の積を応用しています。
$α=r_1(\cosθ_1+i\sinθ_1)、β=r_2(\cosθ_2+i\sinθ_2)$とするとき、
 $αβ=r_1\cdot r_2\{\cos(θ_1+θ_2)+i\sin(θ_1+θ_2)\}$

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