01-07複素数を原点を中心に回転させる(難易度1)

点$z$を$z=1+2i$としたとき、$z$を原点を中心に$\cfrac{1}{4}π$回転させたときの複素数を求めよ

$z$を極形式で表すことができないので、原点を中心に回転させるもう一つの方法を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













原点を中心に$\cfrac{1}{4}π$回転させた点は
 $(1+2i)(\cos\cfrac{1}{4}π+i\sin\cfrac{1}{4}π)$
  $=(1+2i)(\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}i)$
  $=\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{\sqrt{2}}{2}i+\sqrt{2}i-\sqrt{2}$
  $=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{3\sqrt{2}}{2}i$

解説

$z$を原点を中心に$α$回転させたときの複素数は、以下で表すことができます。
 $z(\cosα+i\sinα)$
また、
$z$を$r(\cosθ+i\sinθ)$の極形式で表せる場合は、簡単に$r\{\cos(θ+α)+i\sin(θ+α)\}$になります。

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