01-06極形式の複素数の和を求める(難易度2)

$α=\cfrac{1}{\sqrt{2}}(1-i)、β=\cfrac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)$のとき、$α+β$を極形式で表せ

極形式への変換は、偏角がわかるときにやりましょう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$α=\cfrac{1}{\sqrt{2}}(1-i)$
 $=\cos\cfrac{7}{4}π+i\sin\cfrac{7}{4}π$
$β=\cfrac{1}{2}(1+\sqrt{3}i)$
 $=\cos\cfrac{1}{3}π+i\sin\cfrac{1}{3}π$
$α+β=\cos\cfrac{7}{4}π+\cos\cfrac{1}{3}π+i(\sin\cfrac{7}{4}π+\sin\cfrac{1}{3}π)$
 $=\cos\cfrac{1}{2}(\cfrac{7}{4}π+\cfrac{1}{3}π)\cos\cfrac{1}{2}(\cfrac{7}{4}π-\cfrac{1}{3}π)+\sin\cfrac{1}{2}(\cfrac{7}{4}π+\cfrac{1}{3}π)\cos\cfrac{1}{2}(\cfrac{7}{4}π-\cfrac{1}{3}π)$
 $=\cos\cfrac{25}{24}π\cos\cfrac{17}{24}π+i\sin\cfrac{25}{24}π\cos\cfrac{17}{24}π$
 $=\cos\cfrac{17}{24}π(\cos\cfrac{25}{24}π+i\sin\cfrac{25}{24}π)$

解説

$α+β$を計算してから極形式に変換すると、偏角$θ$を計算できなくなるので、
先に$α$と$β$を極形式にしてから計算します。
$α$と$β$の絶対値が同じ場合は、三角関数の和→積の公式を使うことでまとめることができるので、
極形式にすることができます。

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