01-05極形式の複素数の積と商を求める(難易度1)

$α=4(\cos\cfrac{1}{2}π+i\sin\cfrac{1}{2}π)、β=2(\cos\cfrac{1}{4}π+i\sin\cfrac{1}{4}π)$とする。
(1)$αβ$を極形式で表せ。
(2)$\cfrac{α}{β}$を極形式で表せ

(1)(2)極形式の積と商は簡単に計算できます。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$αβ=4\times2\left\{\cos(\cfrac{1}{2}π+\cfrac{1}{4}π)+i\sin(\cfrac{1}{2}π+\cfrac{1}{4}π)\right\}$
  $=8(\cos\cfrac{3}{4}π+i\sin\cfrac{3}{4}π)$
(2)$\cfrac{α}{β}=\cfrac{4}{2}\left\{\cos(\cfrac{1}{2}π-\cfrac{1}{4}π)+i\sin(\cfrac{1}{2}π-\cfrac{1}{4}π)\right\}$
  $=2(\cos\cfrac{1}{4}π+i\sin\cfrac{1}{4}π)$

解説

極形式の積と商は以下の計算で簡単にすることができます。
$α=r_1(\cosθ_1+i\sinθ_1)、β=r_2(\cosθ_2+i\sinθ_2)$とするとき、
 $αβ=r_1\cdot r_2\{\cos(θ_1+θ_2)+i\sin(θ_1+θ_2)\}$
 $\cfrac{α}{β}=\cfrac{r_1}{r_2}\{\cos(θ_1-θ_2)+i\sin(θ_1-θ_2)\}$

また、この関係式は以下のように簡単に証明できます。
$αβ=r_1(\cosθ_1+i\sinθ_1)\cdot r_2(\cosθ_2+i\sinθ_2)$
 $=r_1\cdot r_2\{(\cosθ_1\cosθ_2-\sinθ_1\sinθ_2)+i(\sinθ_1\cosθ_2+\sinθ_2\cosθ_1)\}$
 $=r_1\cdot r_2\{\cos(θ_1+θ_2)+i\sin(θ_1+θ_2)\}$
なぜなら
 $\sin(θ_1+θ_2)=\sinθ_1\cosθ_2+\sinθ_2\cosθ_1$
 $\cos(θ_1+θ_2)=\cosθ_1\cosθ_2-\sinθ_1\sinθ_2$

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする