01-04極形式の共役な複素数を求める(難易度1)

$z=1-\sqrt{3}i$のとき、以下について答えよ。
(1)$z$を極形式で表せ。ただし、偏角は$0≦θ≦2π$とする。
(2)$3\overline{z}$を極形式で表せ。ただし、偏角は$0≦θ≦2π$とする。

(1)極形式とは、$z=r(\cosθ+i\sinθ)$の形式です。
(2)共役な複素数は、実軸に対称な点になります。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$|1-\sqrt{3}i|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2$
 $\cosθ=\cfrac{1}{2}$
 $\sinθ=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$
 $0≦θ≦2π$より
  $θ=\cfrac{5}{3}π$
 つまり
  $1-\sqrt{3}i=2(\cos\cfrac{5}{3}π+i\sin\cfrac{5}{3}π)$
(2)$3\overline{z}$は、$z$に対して原点から$3$倍の距離にし、実軸に対して対称な点となるので、
 $3\overline{z}=6(\cos\cfrac{1}{3}π+i\sin\cfrac{1}{3}π)$

解説

(1)複素数は、以下の計算で極形式に変換できます。
$z=a+bi$を$z=r(\cosθ+i\sinθ)$に変換するとき、以下の式で計算できます。
 $r=\sqrt{a^2+b^2}$
 $\cosθ=\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
 $\sinθ=\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
(2)共役な複素数は、実軸に対して対称な点となるので、極形式では以下の関係になります。
 $z=r(\cosθ+i\sinθ)$のとき
 $\overline{z}=r\{\cos(2π-θ)+i\sin(2π-θ)\}$

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