01-03複素数を極形式で表す(難易度1)

次の複素数を極形式であらわせ。偏角$θ$は$0≦θ≦2π$とする
(1)$3+3i$ (2)$2i$ (3)$1-\sqrt{3}i$

極形式とは、$z=r(\cosθ+i\sinθ)$の形式です。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$|3+3i|=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
 $\cosθ=\cfrac{3}{3\sqrt{2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
 $\sinθ=\cfrac{3}{3\sqrt{2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}$
 $0≦θ≦2π$より
  $θ=\cfrac{1}{4}π$
 つまり
  $3+3i=3\sqrt{2}(\cos\cfrac{1}{4}π+i\sin\cfrac{1}{4}π)$
(2)$|2i|=2$
 $\cosθ=\cfrac{0}{2}$
 $\sinθ=\cfrac{2}{2}=1$
 $0≦θ≦2π$より
  $θ=\cfrac{1}{2}π$
 つまり
  $2i=2(\cos\cfrac{1}{2}π+i\sin\cfrac{1}{2}π)$
(3)$|1-\sqrt{3}i|=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2$
 $\cosθ=\cfrac{1}{2}$
 $\sinθ=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$
 $0≦θ≦2π$より
  $θ=\cfrac{5}{3}π$
 つまり
  $1-\sqrt{3}i=2(\cos\cfrac{5}{3}π+i\sin\cfrac{5}{3}π)$

解説

複素数は、以下の計算で極形式に変換できます。
$z=a+bi$を$z=r(\cosθ+i\sinθ)$に変換するとき、以下の式で計算できます。
 $r=\sqrt{a^2+b^2}$
 $\cosθ=\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$
 $\sinθ=\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

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