01-02与えられた式が実数か虚数かを証明する(難易度1)

$z\cdot\overline{z}+α\cdot\overline{z}+\overline{α}\cdot z$は、実数か純虚数のどちらであるか答えよ

実数と純虚数との判別方法を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$β=z\cdot\overline{z}+α\cdot\overline{z}+\overline{α}\cdot z$とおくと
$\overline{β}=\overline{z\cdot\overline{z}+α\cdot\overline{z}+\overline{α}\cdot z}$
 $=\overline{z}\cdot z+\overline{α}\cdot z+α\cdot\overline{z}$
つまり、$β=\overline{β}$のため
 $β$は、実数である

解説

実数と純虚数との判別する方法は、共役な複素数を比べることで判別できます。
 $z=\overline{z}$のとき実数
 $z=-\overline{z}$のとき純虚数
当然といえば当然です。
$z=a+bi$とすると、$\overline{z}=a-bi$となるので、
 $z$が実数のとき$b=0$なので、$z=\overline{z}$になります。
 $z$が純虚数のとき$a=0$なので、$z=-\overline{z}$になります。

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