01-01共役な複素数の絶対値を求める(難易度1)

$z=2+i$のとき、$\left|z+\cfrac{1}{\overline{z}}\right|$の値を求めよ

絶対値の計算は二乗してから考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\left|z+\cfrac{1}{\overline{z}}\right|^2=\left(z+\cfrac{1}{\overline{z}}\right)\left(\overline{z+\cfrac{1}{\overline{z}}}\right)$
 $=\left(z+\cfrac{1}{\overline{z}}\right)\left(\overline{z}+\cfrac{1}{z}\right)$
 $=z\cdot\overline{z}+1+1+\cfrac{1}{z\cdot\overline{z}}$
 $=|z|^2+2+\cfrac{1}{|z|^2}$
 $=(2^2+1^2)+2+\cfrac{1}{2^2+1^2}$
 $=\cfrac{36}{5}$
つまり
 $\left|z+\cfrac{1}{\overline{z}}\right|=\cfrac{6}{\sqrt{5}}$

解説

絶対値の計算は、二乗してから整理すると計算が簡単にできる場合があります。
まず、$z+\cfrac{1}{\overline{z}}$を計算してから直接に$\left|z+\cfrac{1}{\overline{z}}\right|$を計算して求めてもよいですが、
今後のために、$|z|^2=z\cdot\overline{z}$を使う計算方法を理解しておいた方が良いです。

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