26-01数学的帰納法を用いて不等式を証明する(難易度2)

以下の不等式がすべての自然数$n$において成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ
 $n<2^n$・・・①

数学的帰納法の証明手順を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













[1]$n=1$のとき
 (左辺)$=1$、(右辺)$=2$
 のため、①が成り立っている。
[2]$n=k$のとき、①が成り立つと仮定すると
  $k<2^k$
  $2^k-k>0$・・・②
 $n=k+1$のときを考えると
  $2^{k+1}-(k+1)$
   $=2^k+2^k-k-1$
   $=2^k-k+(2^k-1)$
 ②より、$2^k-k>0$
 $2^k>2$より、$2^k-1>0$
 つまり、
  $2^{k+1}-(k+1)>0$
 となり、$n=k+1$のときも①は成り立つ。
[1][2]から、数学的帰納法によりすべての自然数nにおいて①は成り立つ

解説

等式の場合でも不等式の場合でも、数学的帰納法は同じ手順で証明します。
ただ、不等式の方が変形に工夫が必要なので、難易度が上がります。

$f(n)>g(n)$であることを数学的帰納法で証明する手順は
 ①[1]$n=1$のとき、$f(1)>g(1)$条件式が成り立つことを説明する。
 ②[2]$n=k$のとき、$f(n)>g(n)$が成り立つと仮定する
 ③$n=k+1$のとき、$f(n+1)$を変形して$f(n+1)>g(n+1)$になることを説明する。
  ただし、変形する際に$f(n)>g(n)$を使って説明しなければいけません。
 ④結論を述べる。「数学的帰納法により」という用語を使っても使わなくても大丈夫です。
  「[1][2]から、すべての自然数$n$において$f(n)>g(n)$は成り立つ」
  もしくは、
  「[1][2]から、数学的帰納法によりすべての自然数$n$において$f(n)>g(n)$は成り立つ」
  と述べましょう。

これは、どういうことがというと
 ①$n=1$で成り立つ
 ②$n=k$で成り立つなら$n=k+1$で成り立つ
ということは、
 $n=1$で成り立つなら、$n=2$で成り立つことになり、
 $n=2$で成り立つなら、$n=3$で成り立つことになり、
 $n=3$で成り立つなら、$n=4$で成り立つことになり、
 ・・・
つまりは、繰り返すと、すべての自然数$n$で成り立つことになるということです。

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