以下の不等式がすべての自然数$n$において成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ
$n＜2^n$・・・①
$n＜2^n$・・・①
数学的帰納法の証明手順を思い出そう。
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解答は下の方にあります。
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[1]$n=1$のとき
(左辺)$=1$、(右辺)$=2$
のため、①が成り立っている。
[2]$n=k$のとき、①が成り立つと仮定すると
$k＜2^k$
$2^k-k＞0$・・・②
$n=k+1$のときを考えると
$2^{k+1}-(k+1)$
$=2^k+2^k-k-1$
$=2^k-k+(2^k-1)$
②より、$2^k-k>0$
$2^k＞2$より、$2^k-1＞0$
つまり、
$2^{k+1}-(k+1)＞0$
となり、$n=k+1$のときも①は成り立つ。
[1][2]から、数学的帰納法によりすべての自然数nにおいて①は成り立つ
(左辺)$=1$、(右辺)$=2$
のため、①が成り立っている。
[2]$n=k$のとき、①が成り立つと仮定すると
$k＜2^k$
$2^k-k＞0$・・・②
$n=k+1$のときを考えると
$2^{k+1}-(k+1)$
$=2^k+2^k-k-1$
$=2^k-k+(2^k-1)$
②より、$2^k-k>0$
$2^k＞2$より、$2^k-1＞0$
つまり、
$2^{k+1}-(k+1)＞0$
となり、$n=k+1$のときも①は成り立つ。
[1][2]から、数学的帰納法によりすべての自然数nにおいて①は成り立つ
解説
等式の場合でも不等式の場合でも、数学的帰納法は同じ手順で証明します。
ただ、不等式の方が変形に工夫が必要なので、難易度が上がります。
ただ、不等式の方が変形に工夫が必要なので、難易度が上がります。
$f(n)＞g(n)$であることを数学的帰納法で証明する手順は
①[1]$n=1$のとき、$f(1)＞g(1)$条件式が成り立つことを説明する。
②[2]$n=k$のとき、$f(n)＞g(n)$が成り立つと仮定する
③$n=k+1$のとき、$f(n+1)$を変形して$f(n+1)＞g(n+1)$になることを説明する。
ただし、変形する際に$f(n)＞g(n)$を使って説明しなければいけません。
④結論を述べる。「数学的帰納法により」という用語を使っても使わなくても大丈夫です。
「[1][2]から、すべての自然数$n$において$f(n)＞g(n)$は成り立つ」
もしくは、
「[1][2]から、数学的帰納法によりすべての自然数$n$において$f(n)＞g(n)$は成り立つ」
と述べましょう。
これは、どういうことがというと
①$n=1$で成り立つ
②$n=k$で成り立つなら$n=k+1$で成り立つ
ということは、
$n=1$で成り立つなら、$n=2$で成り立つことになり、
$n=2$で成り立つなら、$n=3$で成り立つことになり、
$n=3$で成り立つなら、$n=4$で成り立つことになり、
・・・
つまりは、繰り返すと、すべての自然数$n$で成り立つことになるということです。