25-01数学的帰納法を用いて等式を証明する(難易度1)

以下の等式がすべての自然数nにおいて成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ
$1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=\cfrac{1}{4}(n+1)^2n^2$・・・①

数学的帰納法の証明手順を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













[1]$n=1$のとき
 (左辺)$=1$
 (右辺)$=\cfrac{1}{4}(n+1)^2n^2=\cfrac{1}{4}(1+1)^21^2=1$
 のため、①が成り立っている。
[2]$n=k$のとき、①が成り立つと仮定すると
 $1^3+2^3+3^3+・・・+k^3=\cfrac{1}{4}(k+1)^2k^2$
 $n=k+1$のときを考えると
  $1^3+2^3+3^3+・・・+k^3+(k+1)^3$
  $=\cfrac{1}{4}(k+1)^2k^2+(k+1)^3$
  $=\cfrac{1}{4}(k+1)^2\{k^2+4(k+1)\}$
  $=\cfrac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2$
 よって、①は、$n=k+1$のときも成り立っている
[1][2]から、数学的帰納法によりすべての自然数$n$において①は成り立つ

解説

$f(n)=g(n)$であることを数学的帰納法で証明する手順は
 ①[1]$n=1$のとき、$f(1)=g(1)$条件式が成り立つことを説明する。
 ②[2]$n=k$のとき、$f(n)=g(n)$が成り立つと仮定する
 ③$n=k+1$のとき、$f(n+1)$を変形して$g(n+1)$になることを説明する。
  ただし、変形する際に$f(n)=g(n)$を使って説明しなければいけません。
 ④結論を述べる。「数学的帰納法により」という用語を使っても使わなくても大丈夫です。
  「[1][2]から、すべての自然数$n$において$f(n)=g(n)$は成り立つ」
  もしくは、
  「[1][2]から、数学的帰納法によりすべての自然数nにおいて$f(n)=g(n)$は成り立つ」
  と述べましょう。

これは、どういうことがというと
 ①$n=1$で成り立つ
 ②$n=k$で成り立つなら$n=k+1$で成り立つ
ということは、
 $n=1$で成り立つなら、$n=2$で成り立つことになり、
 $n=2$で成り立つなら、$n=3$で成り立つことになり、
 $n=3$で成り立つなら、$n=4$で成り立つことになり、
 ・・・
つまりは、繰り返すと、すべての自然数$n$で成り立つことになるということです。

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