24-01三項間の漸化式から一般項を求める2(難易度3)

$a_1=0、a_2=1、a_{n+2}-a_{n+1}-6a_n=0$であるとき、一般項$a_n$を求めよ

特定方程式から式を変形させよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$a_{n+2}+3a_{n+1}-4a_n=0$を変形し
 $a_{n+2}+2a_{n+1}=3(a_{n+1}+2a_n)$・・・①
 $a_{n+2}-3a_{n+1}=-2(a_{n+1}-3a_n)$・・・②
①より
 $a_{n+1}+2a_n=(a_2+2a_1)3^{n-1}=3^{n-1}$・・・③
②より
 $a_{n+1}-3a_n=(a_2-3a_1)(-2)^{n-1}=(-2)^{n-1}$・・・④
③-④より
 $5a_n=3^{n-1}-(-2)^{n-1}$
 $a_n=\cfrac{1}{5}\{3^{n-1}-(-2)^{n-1}\}$

解説

漸化式を解く場合、どのようなパターンなのか考えて解きます。
この問題は、【パターンT1】解のどちらかが1です。

変数ばっかりだと理解しにくいので、実際の問題を解いて、理解することをお勧めします。

<3項間漸化式のパターンの考え方>
$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$の形の$3$項間の漸化式の特定方程式を解くことでパターン分けします。
特定方程式は、$a_{n+2}$を$x^2、a_{n+1}$を$x、a_{n}$を$1$とした、$x^2+px+q=0$です。
解を$α、β$としたとき、以下に変形できます。
 $a_{n+2}-αa_{n+1}=β(a_{n+1}-αa_{n})$・・・①
 $a_{n+2}-βa_{n+1}=α(a_{n+1}-βa_{n})$・・・②

【パターン$T1$】解のどちらかが$1$のとき
 ①の式で$α=1$とすると、以下のような、階差数列$\{(a_{n+1}-a_{n})\}$が等比数列となる式になります。
  $a_{n+2}-a_{n+1}=β(a_{n+1}-a_{n})$
 ここまで変形できれば、普通に解けると思います。
 
【パターン$T2$】$α$も$β$も$1$でないとき
 ①の等比数列と②の等比数列を一般項で表し、連立方程式として解きます。
 ①は、$a_{n+1}-αa_{n}=(a_2-αa_1)β^{n-1}$・・・③
 ②は、$a_{n+1}-βa_{n}=(a_2-βa_1)α^{n-1}$・・・④
 ③-④より
  $(β-α)a_{n}=(a_2-αa_1)β^{n-1}-(a_2-βa_1)α^{n-1}$
  $a_n=\cfrac{(a_2-αa_1)β^{n-1}-(a_2-βa_1)α^{n-1}}{(β-α)}$

【パターン$T3$】$α=β$の重解のとき
 【パターン$T2$】のように$2$つ式ができないので$1$つの式で解きます。
 ①は、$a_{n+1}-αa_{n}=α(a_{n+1}-αa_{n})$
  $a_{n+1}-αa_{n}=(a_2-αa_1)α^{n-1}$・・・⑤
 ⑤は、2項間漸化式の【パターンD1】$a_{n+1}=pa_n+a^n$と同じ形です。
 両辺を$α^{n+1}$で割ると
  $\cfrac{a_{n+1}}{α^{n+1}}-\cfrac{a_{n}}{α^{n}}=(a_2-αa_1)\cfrac{α^{n-1}}{α^{n+1}}$
 $b_n=\cfrac{a_{n}}{α^{n}}$とおくと
  $b_{n+1}-b_{n}=(a_2-αa_1)α^{-2}$
 となり、階差数列として解くことができます。

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