21-01an+1=tan+s/pan+qの漸化式から一般項を求める2(難易度3)

$a_1=-1、a_{n+1}=\cfrac{a_n-4}{a_n+5}$であるとき、以下について答えよ
(1)すべての自然数$n$において$a_n=-2$でないことを証明せよ
(2)$b_n=\cfrac{1}{a_n+2}$とおくことで、$b_{n+1}$を$b_n$で表せ。また、一般項$a_n$を求めよ

(1)背理法をつかって証明しましょう
(2)$b_{n+1}$に代入して、$b_{n+1}=b_n+d$となるように係数を比較しよう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$a_{n+1}=-2$と仮定すると
 $-2=\cfrac{a_n-4}{a_n+5}$
 $-2(a_n+5)=a_n-4$
 $a_n=-2$
となるので、$a_{n+1}=a_{n}=a_{n-1}=$・・・$=a_1=-2$となる
しかし、$a_1=-1$のため、仮定と矛盾する。
つまり、$a_n\neq-2$
(2)$b_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}+2}$
 $=\cfrac{1}{\cfrac{a_n-4}{a_n+5}+2}$
 $=\cfrac{a_n+5}{a_n-4+2(a_n+5)}$
 $=\cfrac{a_n+5}{3(a_n+2)}$
 $=\cfrac{1}{3(a_n+2)}+\cfrac{1}{3}$
つまり
 $b_{n+1}=b_{n}+\cfrac{1}{3}、b_1=\cfrac{1}{a_1+2}=1$
数列$\{b_n\}$は初項1、公差$\cfrac{1}{3}$の数列なので
 $b_n=1+\cfrac{1}{3}(n-1)=\cfrac{n+2}{3}$
 $\cfrac{1}{a_n+2}=\cfrac{n+2}{3}$
 $a_n=\cfrac{3}{n+2}-2$

解説

漸化式を解く場合、どのようなパターンなのか考えて解きます。
 【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$のとき

【パターンB4】の解き方は
$a_{n+1}$と$a_n$と$x$に置き換えた特性方程式$x=\cfrac{rx+s}{px+q}$の解が重解$α$とすると
 $b_n=\cfrac{1}{a_n-α}$
とおくことで、$\{b_n\}$の等差数列に変換することができます。
解き方は、
 $b_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}-α}$
に対して、問題文の条件式を代入すると$\{b_n\}$の等差数列になります。

<2項間漸化式のパターンの考え方>
①条件式をみて$a_n$がどのような数列であるか判断します。
 →【パターン$A0$】等差数列のとき
   $a_n=a_1+(n-1)d$
 →【パターン$B0$】等比数列のとき
   $a_n=a_1 r^n-1$
 →【パターン$C0$】階差数列のとき
   $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n$
 →式の変形できるとき②へ

②式の変形を考えます。
 変形方法は問題に示されていることが多いですが、$B3、B4、D3$以外は覚えておきましょう。
 →【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$のとき
  $a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形して【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{p}{a_n}+q$のとき
  $b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$D0$】$a_{n+1}=pa_n+f(n)$のとき、③へ
 →【パターン$B3$】$a_{n+1}=\cfrac{a_n}{pa_n+q}$のとき、
  両辺を逆数にし、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$のとき
  特定方程式が重解のとき、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n-α}$とおいて、【パターン$A0$】等差数列として解く
  特定方程式が重解でないとき、$b_{n}=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}$とおいて、【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$E1$】$a_{n+1}=pa_n^q$のとき
  $a_n>0$であると証明し、両辺の対数を取って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
   
③$a_{n+1}=pa_n+f(n)$の変形方法
 →【パターン$D1$】$a_{n+1}=pa_n+a^n$のとき
  両辺を$a^{n+1}$で割って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$に変形して解く
 →【パターン$D2$】$f(n)=an+b$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)-β=p(a_n-αn-β)$に変形して、【パターン$B0$】等比数列に変形して解く
 →【パターン$D3$】$f(n)=an^2+bn+c$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)^2-β(n+1)-γ=p(a_n-αn^2-βn-γ)$に変形して、
  【パターン$B0$】等比数列に変形して解く

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