20-01an+1=tan+s/pan+qの漸化式から一般項を求める1(難易度3)

$a_1=6、a_{n+1}=\cfrac{6a_n+5}{a_n+2}$であるとき、以下について答えよ
(1)$b_n=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}、(α>β)$とおくことで、数列$\{b_n\}$が等比数列であることを示せ
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ

$b_{n+1}$に代入して、$b_{n+1}=rb_n$となるように係数を比較しよう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$b_{n+1}=\cfrac{a_{n+1}-β}{a_{n+1}-α}$
 $=\cfrac{\cfrac{6a_n+5}{a_n+2}-β}{\cfrac{6a_n+5}{a_n+2}-α}$
 $=\cfrac{6a_n+5-β(a_n+2)}{6a_n+5-α(a_n+2)}$
 $=\cfrac{(6-β)a_n+5-2β}{(6-α)a_n+5-2α}$
 $=\cfrac{(6-β)}{(6-α)}\cfrac{a_n+\cfrac{5-2β}{6-β}}{a_n+\cfrac{5-2α}{6-α}}$・・・①
ここで、$\{b_n\}$が等比数列となるためには、係数を比較して以下を満たす場合である
 $\cfrac{5-2β}{6-β}=-β$
 $\cfrac{5-2α}{6-α}=-α$
これを解いて
 $4(5-2β)=-β(6-β)、(5-2α)=-α(6-α)$
 $β^2-5β-5=0、α^2-5α-5=0$
 $4(β-5)(β+1)=0、(α-5)(α+1)=0$
$α>β$より
 $α=5、β=-1$
(2)①に代入して
 $b_{n+1}=\cfrac{(6+1)}{(6-5)}b_n=7b_n、b_1=\cfrac{a_1-β}{a_1-α}=7$
$\{b_n\}$は初項$7$、公比$7$の等比数列であるので
 $b_n=7\cdot7^{n-1}=7^n$
 $b_n=\cfrac{a_n+1}{a_n-5}=7^n$
 $a_n+1=7^n(a_n-5)$
 $a_n=\cfrac{5\cdot7^n+1}{7^n-1}$

解説

漸化式を解く場合、どのようなパターンなのか考えて解きます。
 【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$
 
【パターン$B4$】の解き方は
$a_{n+1}$と$a_n$と$x$に置き換えた特性方程式$x=\cfrac{rx+s}{px+q}$の解が2つあるとき、解を$α、β(α>β)$とすると
 $b_n=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}$
とおくことで、$\{b_n\}$の等比数列に変換することができます。
解き方は、
 $b_{n+1}=\cfrac{a_{n+1}-β}{a_{n+1}-α}$
に対して、問題文の条件式を代入すると$\{b_n\}$の等比数列になります。

<2項間漸化式のパターンの考え方>
①条件式をみて$a_n$がどのような数列であるか判断します。
 →【パターン$A0$】等差数列のとき
   $a_n=a_1+(n-1)d$
 →【パターン$B0$】等比数列のとき
   $a_n=a_1 r^n-1$
 →【パターン$C0$】階差数列のとき
   $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n$
 →式の変形できるとき②へ

②式の変形を考えます。
 変形方法は問題に示されていることが多いですが、$B3、B4、D3$以外は覚えておきましょう。
 →【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$のとき
  $a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形して【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{p}{a_n}+q$のとき
  $b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$D0$】$a_{n+1}=pa_n+f(n)$のとき、③へ
 →【パターン$B3$】$a_{n+1}=\cfrac{a_n}{pa_n+q}$のとき、
  両辺を逆数にし、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$のとき
  特定方程式が重解のとき、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n-α}$とおいて、【パターン$A0$】等差数列として解く
  特定方程式が重解でないとき、$b_{n}=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}$とおいて、【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$E1$】$a_{n+1}=pa_n^q$のとき
  $a_n>0$であると証明し、両辺の対数を取って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
   
③$a_{n+1}=pa_n+f(n)$の変形方法
 →【パターン$D1$】$a_{n+1}=pa_n+a^n$のとき
  両辺を$a^{n+1}$で割って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$に変形して解く
 →【パターン$D2$】$f(n)=an+b$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)-β=p(a_n-αn-β)$に変形して、【パターン$B0$】等比数列に変形して解く
 →【パターン$D3$】$f(n)=an^2+bn+c$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)^2-β(n+1)-γ=p(a_n-αn^2-βn-γ)$に変形して、
  【パターン$B0$】等比数列に変形して解く

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