19-01an+1=an/pan+qの漸化式から一般項を求める(難易度3)

次の条件を満たすとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ
$a_1=\cfrac{1}{3}、\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{a_n}{2a_n-1}$

$b_n=\cfrac{1}{a_{n}}$での変換を考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$a_{n+1}=0$と仮定すると、$a_{n+1}=a_n=$・・・$=a_1=0$となる。
しかし、$a=\cfrac{1}{3}$と矛盾するため、$a_n\neq0$

条件式を逆数にすると
 $\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{2a_n-1}{a_n}$
    $=2-\cfrac{1}{a_n}$
$b_n=\cfrac{1}{a_n}$とおくと、
 $b_{n+1}=-b_n+2、b_1=\cfrac{1}{a_1}=3$
 $(b_{n+1}-1)=-(b_n-1)$
数列$\{b_n-1\}$は、初項$b_1-1$、公比$-1$の数列である
 $b_n-1=(b_1-1)\cdot(-1)^{n-1}$
 $b_n=2\cdot(-1)^{n-1}+1$
 $a_n=\cfrac{1}{2\cdot(-1)^{n-1}+1}$

解説

漸化式を解く場合、どのようなパターンなのか考えて解きます。
 【パターン$B3$】$a_{n+1}=\cfrac{a_n}{pa_n+q}$

【パターン$B3$】の解き方は
両辺を逆数にすると、【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{p}{a_n}+q$になることを利用します。
しかし、逆数にするためには、分母が$0$でないことを証明する必要があります。
そこで、背理法をつかって、$a_{n+1}\neq0$でないことを証明してから、逆数にします。

<2項間漸化式のパターンの考え方>
①条件式をみて$a_n$がどのような数列であるか判断します。
 →【パターン$A0$】等差数列のとき
   $a_n=a_1+(n-1)d$
 →【パターン$B0$】等比数列のとき
   $a_n=a_1 r^n-1$
 →【パターン$C0$】階差数列のとき
   $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n$
 →式の変形できるとき②へ

②式の変形を考えます。
 変形方法は問題に示されていることが多いですが、$B3、B4、D3$以外は覚えておきましょう。
 →【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$のとき
  $a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形して【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{p}{a_n}+q$のとき
  $b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$D0$】$a_{n+1}=pa_n+f(n)$のとき、③へ
 →【パターン$B3$】$a_{n+1}=\cfrac{a_n}{pa_n+q}$のとき、
  両辺を逆数にし、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$のとき
  特定方程式が重解のとき、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n-α}$とおいて、【パターン$A0$】等差数列として解く
  特定方程式が重解でないとき、$b_{n}=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}$とおいて、【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$E1$】$a_{n+1}=pa_n^q$のとき
  $a_n>0$であると証明し、両辺の対数を取って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
   
③$a_{n+1}=pa_n+f(n)$の変形方法
 →【パターン$D1$】$a_{n+1}=pa_n+a^n$のとき
  両辺を$a^{n+1}$で割って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$に変形して解く
 →【パターン$D2$】$f(n)=an+b$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)-β=p(a_n-αn-β)$に変形して、【パターン$B0$】等比数列に変形して解く
 →【パターン$D3$】$f(n)=an^2+bn+c$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)^2-β(n+1)-γ=p(a_n-αn^2-βn-γ)$に変形して、
  【パターン$B0$】等比数列に変形して解く

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