17-01an+1=pan+a^nの漸化式から一般項を求める(難易度2)

次の条件を満たすとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ
(1)$a_1=2、a_{n+1}=3a_n+2^{n+1}$
(2)$a_1=2、3a_{n+1}=a_n+\cfrac{2}{3^{n}}$

$a_{n+1}=pa_n+a^n$型の解き方を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)両辺を$2^{n+1}$で割ると
 $\cfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\cfrac{3a_n}{2^{n+1}}+\cfrac{2^{n+1}}{2^{n+1}}$
 $\cfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\cfrac{3}{2}\cdot\cfrac{a_n}{2^{n}}+1$
$b_n=\cfrac{a_n}{2^n}$とおくと
 $b_{n+1}=\cfrac{3}{2}b_n+1、b_1=\cfrac{a_1}{2^1}=\cfrac{1}{2}$
 $b_{n+1}+2=\cfrac{3}{2}(b_n+2)$
数列$\{b_n+2\}$は、初項$b_1+2$、公比$\cfrac{3}{2}$の数列である
 $b_n+2=(b_1+2)\cdot(\cfrac{3}{2})^{n-1}=3\cdot(\cfrac{3}{2})^{n-1}$
 $b_n=3\cdot(\cfrac{3}{2})^{n-1}-2$
 $a_n=3\cdot(\cfrac{3}{2})^{n-1}\cdot2^n-2\cdot2^n$
  $=2\cdot3^n-2^{n+1}$

(2)両辺を$3^n$をかけると
 $3^{n+1}a_{n+1}=3^na_n+2$
$b_n=3^na_n$とおくと
 $b_{n+1}=b_n+2、b_1=3^1a_1=3$
数列$\{b_n\}$は、初項$b_1$、公差$2$の数列である
 $b_n=b_1+2(n-1)=3+2n-2=2n+1$
 $a_n=\cfrac{2n+1}{3^n}$

解説

漸化式を解く場合、どのようなパターンなのか考えて解きます。
 (1)(2)は、【パターン$D1$】$a_{n+1}=pa_n+a^n$です。

【パターン$D1$】の解き方は
 $a^n$部分を消すために、両辺を$a^{n+1}$で割って解きます。
 $b_n=\cfrac{b_n}{a^n}$とおくと、$b_{n+1}=ba_n+q$の形になるので、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$で解いていきます。

【パターン$B1$】の解き方は
 $a_{n+1}=pa_n+q$を$a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形します。
 $α$の値は、特性方程式を解くことで求めることができるので、覚えておきます。
 特性方程式は、$a_{n+1}$と$a_n$を$α$に置き換えて$α=pα+q$の解です。
 ちなみに、$α=\cfrac{q}{1-p}$となります。
 変形さえできてしまえば、単なる等比数列となるので、簡単に解けると思います。
 また、(2)の問題では$p=1$となるので、【パターン$B1$】より簡単な等差数列として解いています。

<2項間漸化式のパターンの考え方>
①条件式をみて$a_n$がどのような数列であるか判断します。
 →【パターン$A0$】等差数列のとき
   $a_n=a_1+(n-1)d$
 →【パターン$B0$】等比数列のとき
   $a_n=a_1 r^n-1$
 →【パターン$C0$】階差数列のとき
   $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n$
 →式の変形できるとき②へ

②式の変形を考えます。
 変形方法は問題に示されていることが多いですが、$B3、B4、D3$以外は覚えておきましょう。
 →【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$のとき
  $a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形して【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{p}{a_n}+q$のとき
  $b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$D0$】$a_{n+1}=pa_n+f(n)$のとき、③へ
 →【パターン$B3$】$a_{n+1}=\cfrac{a_n}{pa_n+q}$のとき、
  両辺を逆数にし、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$のとき
  特定方程式が重解のとき、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n-α}$とおいて、【パターン$A0$】等差数列として解く
  特定方程式が重解でないとき、$b_{n}=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}$とおいて、【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$E1$】$a_{n+1}=pa_n^q$のとき
  $a_n>0$であると証明し、両辺の対数を取って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
   
③$a_{n+1}=pa_n+f(n)$の変形方法
 →【パターン$D1$】$a_{n+1}=pa_n+a^n$のとき
  両辺を$a^{n+1}$で割って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$に変形して解く
 →【パターン$D2$】$f(n)=an+b$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)-β=p(a_n-αn-β)$に変形して、【パターン$B0$】等比数列に変形して解く
 →【パターン$D3$】$f(n)=an^2+bn+c$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)^2-β(n+1)-γ=p(a_n-αn^2-βn-γ)$に変形して、
  【パターン$B0$】等比数列に変形して解く

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