16-01an+1=pan+qの漸化式から一般項を求める(難易度2)

次の条件を満たすとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ
(1)$a_1=2、a_{n+1}=3a_n-2$
(2)$a_1=1、\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{2}{a_n}-3$

(1)$a_{n+1}=pa_n+q$型の解き方を思い出そう
(2)$b_n=\cfrac{1}{a_n}$と考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$a_{n+1}=3a_n-2$
 $a_{n+1}-1=3(a_n-1)$
 $b_{n}=a_{n}-1$とおくと
  $b_{n+1}=3b_n、b_1=a_1-1=2-1=1$
 $\{b_n\}$は、初項$b_1=1$、公比$3$の数列である
 $b_n=1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}$
 $a_n-1=3^{n-1}$
 $a_n=3^{n-1}+1$
 
(2)$b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおくと与式は
 $b_{n+1}=2a_n-3$、$b_1=1$
 $b_{n+1}-3=2(a_n-3)$
 $\{b_n-3\}$は、初項$(b_1-3)$、公比$2$の数列である
 $b_n-3=(b_1-3)\cdot2^{n-1}$
  $=-2\cdot2^{n-1}$
  $=-2^{n}$
 $b_n=-2^{n}+3$
 $a_n=\cfrac{1}{-2^{n}+3}$
 

解説

漸化式を解く場合、どのようなパターンなのか考えて解きます。
 (1)は、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$
 (2)は、【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{1}{a_n}+q$

【パターンB1】の解き方は
 $a_{n+1}=pa_n+q$を$a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形します。
 $α$の値は、特性方程式を解くことで求めることができるので、覚えておきます。
 特性方程式は、$a_{n+1}$と$a_n$を$α$に置き換えて$α=pα+q$の解です。
 ちなみに、$α=\cfrac{q}{1-p}$となります。
 変形さえできてしまえば、単なる等比数列となるので、簡単に解けると思います。

<2項間漸化式のパターンの考え方>
①条件式をみて$a_n$がどのような数列であるか判断します。
 →【パターン$A0$】等差数列のとき
   $a_n=a_1+(n-1)d$
 →【パターン$B0$】等比数列のとき
   $a_n=a_1 r^n-1$
 →【パターン$C0$】階差数列のとき
   $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n$
 →式の変形できるとき②へ

②式の変形を考えます。
 変形方法は問題に示されていることが多いですが、$B3、B4、D3$以外は覚えておきましょう。
 →【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$のとき
  $a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形して【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{p}{a_n}+q$のとき
  $b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$D0$】$a_{n+1}=pa_n+f(n)$のとき、③へ
 →【パターン$B3$】$a_{n+1}=\cfrac{a_n}{pa_n+q}$のとき、
  両辺を逆数にし、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$のとき
  特定方程式が重解のとき、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n-α}$とおいて、【パターン$A0$】等差数列として解く
  特定方程式が重解でないとき、$b_{n}=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}$とおいて、【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$E1$】$a_{n+1}=pa_n^q$のとき
  $a_n>0$であると証明し、両辺の対数を取って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
   
③$a_{n+1}=pa_n+f(n)$の変形方法
 →【パターン$D1$】$a_{n+1}=pa_n+a^n$のとき
  両辺を$a^{n+1}$で割って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$に変形して解く
 →【パターン$D2$】$f(n)=an+b$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)-β=p(a_n-αn-β)$に変形して、【パターン$B0$】等比数列に変形して解く
 →【パターン$D3$】$f(n)=an^2+bn+c$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)^2-β(n+1)-γ=p(a_n-αn^2-βn-γ)$に変形して、
  【パターン$B0$】等比数列に変形して解く

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