15-01等差数列、等比数列、階差数列の漸化式を解く(難易度1)

次の条件を満たすとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ
(1)$a_1=1、a_{n+1}-a_n=3$
(2)$a_1=2、3a_{n+1}-2a_n=0$
(3)$a_1=2、a_{n+1}-a_n=2n+1$

(1)(2)(3)条件を満たす数列がどんな数列になるのか考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$a_{n+1}=a_n+3$より
 ${a_n}$は、初項$a_1$、公差$3$の数列である
 $a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot3$
  $=3n-2$
(2)$a_{n+1}=\cfrac{2}{3}a_n$より
 ${a_n}$は、初項$a_1$、公比$\cfrac{2}{3}$の数列である
 $a_n=a_1\cdot (\cfrac{2}{3})^{n-1}$
 $=2\cdot(\cfrac{2}{3})^{n-1}$

(3)$a_{n+1}-a_n=2n+1$より
 $a_n$の階差数列が$2n+1$である
 $n≧2$のとき
  $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$
   $=2+2\cdot\cfrac{1}{2}(n-1)n+(n-1)$
   $=n^2+1$・・・①
 $n=1$のとき
  $a_1=2$のため、①を満たす
 すなわち
  $a_n=n^2+1$

解説

漸化式を解く場合、どのようなパターンなのか考えて解きます。
基本方針は、等差数列、等比数列、階差数列のどれかにして解きます。
(1)は、【パターン$A0$】等差数列
(2)は、【パターン$B0$】等比数列
(3)は、【パターン$C0$】階差数列

<2項間漸化式のパターンの考え方>
①条件式をみて$a_n$がどのような数列であるか判断します。
 →【パターン$A0$】等差数列のとき
   $a_n=a_1+(n-1)d$
 →【パターン$B0$】等比数列のとき
   $a_n=a_1 r^n-1$
 →【パターン$C0$】階差数列のとき
   $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_n$
 →式の変形できるとき②へ

②式の変形を考えます。
 変形方法は問題に示されていることが多いですが、$B3、B4、D3$以外は覚えておきましょう。
 →【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$のとき
  $a_{n+1}-α=p(a_n-α)$に変形して【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$B2$】$\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{p}{a_n}+q$のとき
  $b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$D0$】$a_{n+1}=pa_n+f(n)$のとき、③へ
 →【パターン$B3$】$a_{n+1}=\cfrac{a_n}{pa_n+q}$のとき、
  両辺を逆数にし、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n}$とおいて、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
 →【パターン$B4$】$a_{n+1}=\cfrac{ra_n+s}{pa_n+q}$のとき
  特定方程式が重解のとき、$b_{n}=\cfrac{1}{a_n-α}$とおいて、【パターン$A0$】等差数列として解く
  特定方程式が重解でないとき、$b_{n}=\cfrac{a_n-β}{a_n-α}$とおいて、【パターン$B0$】等比数列として解く
 →【パターン$E1$】$a_{n+1}=pa_n^q$のとき
  $a_n>0$であると証明し、両辺の対数を取って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$として解く
   
③$a_{n+1}=pa_n+f(n)$の変形方法
 →【パターン$D1$】$a_{n+1}=pa_n+a^n$のとき
  両辺を$a^{n+1}$で割って、【パターン$B1$】$a_{n+1}=pa_n+q$に変形して解く
 →【パターン$D2$】$f(n)=an+b$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)-β=p(a_n-αn-β)$に変形して、【パターン$B0$】等比数列に変形して解く
 →【パターン$D3$】$f(n)=an^2+bn+c$のとき
  $a_{n+1}-α(n+1)^2-β(n+1)-γ=p(a_n-αn^2-βn-γ)$に変形して、
  【パターン$B0$】等比数列に変形して解く

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