13-01階差数列を二回求めて一般項を求める(難易度2)

次の数列の一般項$a_n$を求めよ
 $2、3、6、13、28、69、・・・$

差の数列を求めてみよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は
 $1、3、7、15、31、$・・・
$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$は
 $2、4、8、16、$・・・
$c_n=2^n$
$n≧2$のとき
 $\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}c_k=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2^k)$
  $=1+\cfrac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}$
  $=2^n-1$・・・①
$n=1$のとき
 $b_1=1$のため①を満たす
すなわち
 $b_n=2^n-1$
また、
$n≧2$のとき
 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=2+\sum_{k=1}^{n-1}(2^k-1)$
  $=2+\cfrac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}-(n-1)$
  $=2^n-n+1$・・・②
$n=1$のとき
 $a_1=2$のため②を満たす
すなわち
 $a_n=2^n-n+1$

解説

一般項がすぐにわからない場合は、階差数列を求めてみます。
階差数列でわからなければ、もう一回、階差数列を求めてみます。
階差数列がわかれば、以下の式で一般項を求めることができるので、2回繰り返します。
 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$

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