12-01階差数列が等差数列になっている一般項を求める(難易度1)

次の数列の一般項$a_n$を求めよ
 $0、2、5、9、14、・・・$

差の数列を求めてみよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$は
 $2、3、4、5、$・・・のため
 $b_n=2+(n-1)\cdot1=n+1$
$n≧2$のとき
 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=2+\sum_{k=1}^{n-1}(k+1)$
  $=0+\cfrac{1}{2}(n-1)n+(n-1)$
  $=\cfrac{1}{2}(n-1)(n+2)$・・・①
$n=1$のとき
 $a_1=0$のため、①を満たす。
すなわち
 $a_n=\cfrac{1}{2}(n-1)(n+2)$

解説

一般項がすぐにわからない場合は、階差数列を求めてみます。
階差数列がわかれば、以下の式で一般項を求めることができます。
 $\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$
たまに、いやらしい問題だと、階差数列の階差数列を求めないとわからないものがあります。

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