11-01等比数列にn+kがかかっている数列の総和を求める(難易度2)

次の数列の和を求めよ
 $4\cdot1、7\cdot2、10\cdot2^2、・・・、(3n+1)\cdot2^{n-1}$

等比数列の和を求める手法を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$S=4\cdot1+7\cdot2+10\cdot2^2+・・・+(3n+1)\cdot2^{n-1}$    ・・・①
$2S=$   $4\cdot2+7\cdot2^2+・・・+(3n-2)\cdot2^{n-1}+(3n+1)\cdot2^{n}$・・・②
②-①より
$S=-4\cdot1-3\cdot2-3\cdot^2-3\cdot2^2+・・・-3\cdot2^{n-1}+(3n+1)\cdot2^{n}$
 $=-4-3\cdot\cfrac{2(2^{n-1}-1)}{2-1}+(3n+1)\cdot2^{n}$
 $=-4-3(2^n-2)+(3n+1)\cdot2^{n}$
 $=2+(3n-2)\cdot2^{n}$

解説

等比数列に似ているが、$3n+1$がくっついています。
そのため、公式をそのまま使えないですが、等比数列の和を求める考え方は使えます。
つまり、$rS_n-S_n$を利用する方法が使えます。

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