10-01部分分数にできる数列の総和を求める(難易度2)

次の数列の和を求めよ
 $\cfrac{1}{2\cdot5}、\cfrac{1}{5\cdot8}、\cfrac{1}{8\cdot11}、・・・、\cfrac{1}{(3n-1)\cdot(3n+2)}$

分数の積の形は分解すると良いときがあります。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\cfrac{1}{(3n-1)\cdot(3n+2)}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{3n-1}-\cfrac{1}{3n+2})$
$\cfrac{1}{2\cdot5}+\cfrac{1}{5\cdot8}+\cfrac{1}{8\cdot11}+・・・+\cfrac{1}{(3n-1)\cdot(3n+2)}$
 $=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{5})+\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{5}-\cfrac{1}{8})+\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{8}-\cfrac{1}{11})+・・・+\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{3n-1}-\cfrac{1}{3n+2})$
 $=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3n+2})$
 $=\cfrac{n}{2(3n+2)}$

解説

$\cfrac{1}{(3n-1)\cdot(3n+2)}$のように分数の形になっている数列の和は、
以下のような形に変形して、+部分と-部分で消すことができます。
 $=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{2} \color{red}{-\cfrac{1}{5}})+\cfrac{1}{3}(\color{red}{\cfrac{1}{5}} \color{green}{-\cfrac{1}{8}})+\cfrac{1}{3}(\color{green}{\cfrac{1}{8}}-\cfrac{1}{11})+・・・+\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{3n-1}-\cfrac{1}{3n+2})$
$\cfrac{1}{a_k \cdot a_{k+1}}$の形を発見したら、分解することを考えましょう。

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