09-01nが含まれる数列の総和を求める(難易度2)

次の数列の和を求めよ
 $1^2\cdot n、2^2\cdot (n-1)、3^2\cdot (n-2)、・・・、n^2\cdot 1$

一般項を求めてから総和を求めよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$a_k=k^2\cdot(n+1-k)$
$\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\{k^2\cdot(n+1-k)\}$
 $\displaystyle=\sum_{k=1}^n \{-k^3+(n+1)k^2\}$
 $\displaystyle=-\sum_{k=1}^n k^3+(n+1)\sum_{k=1}^n k^2$
 $=-\{\cfrac{1}{2}n(n+1)\}^2+(n+1)\cfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
 $=\cfrac{1}{12}n(n+1)^2 \{-3n+2(2n+1)\}$
 $=\cfrac{1}{12}n(n+1)^2(n+2)$

解説

まず、一般項を求めてから総和を求めよう。
$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2(n+1)$は、$n$と$k$は関係がないので、以下のように、外に出すことができます。
$\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2(n+1)=(n+1)\sum_{k=1}^n k^2$

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