08-01総和の総和を求める(難易度1)

次の数列の和を求めよ
(1)$1、1+3、1+3+5、・・・$
(2)$1、11、111、・・・$

一般項を求めてから総和を求めよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)$a_n=1+3+5+・・・+2n-1$
 $\displaystyle=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=2\cdot\cfrac{1}{2}n(n+1)-n=n^2$
 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k)=\sum_{k=1}^{n}(k^2)=\cfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(2)$a_n=1+10+100+・・・+10^n$
 $=\cfrac{1\cdot(10^n-1)}{10-1}$
 $=\cfrac{10^n-1}{9}$
 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k)=\sum_{k=1}^{n}(\cfrac{10^n-1}{9})$
 $=\cfrac{1}{9}\cfrac{10\cdot(10^n-1)}{10-1}-\cfrac{1}{9}n$
 $=\cfrac{10^{n+1}-9n-10}{81}$

解説

一般項を求めてから総和を求めます。
等比数列の総和も覚えておきましょう。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(ar^{n-1})=\cfrac{a(r^n-1)}{r-1}$

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