04-012つの等差数列と一致する数列の一般項を求める(難易度2)

一般項が$a_n=3n+1、b_n=5n+2$である数列において、共通に表れる数を小さい方から並べた数列を$\{C_n\}$とする。このとき、$C_n$の一般項を求めよ

共通に表れる数の法則を求めよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













共通する現れる数字を$a_k、b_l$とすると
 $a_k=3k+1、b_l=5l+2$
共通の数となるとき
 $3k+1=5l+2$
 $3(k+3)=5(l+2)$
$3$と$5$は互いに素であり、$k+3$、$l+2$が整数のため
 $k+3=5m$($m$は整数)と表すことができる。
つまり、
 $k=5m-3$
 $a_k=15k-8$
すなわち、求める数列は
 $C_n=15n-8$

解説

共通の数字は、$15$ごとに現れるのは何となく気づくと思うので、
あとは、数式で説明できるかどうかです。
$3k+1=5l+2$から$3(k+3)=5(l+2)$への変形は、数字が小さいときは手探りで探しましょう。
大きい場合は、ユークリッド互除法や法を使うことを思い出しましょう。

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