16-01平面と点の距離を求める(難易度3)

平面$P:2x-3y+z+1=0$に垂直な直線$l$が点$A(1、-1、2)$を通るとき
(1)平面$P$と直線$l$の交点$H$を求めよ
(2)$AH$の距離を求めよ

平面の法線ベクトルを使おう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)点$H$を$(x_1、y_1、z_1)$とおくと
平面$P$の法線ベクトル$\vec{v}=(2、-3、1)$と、$\vec{AH}$は平行になるので
 $\vec{AH}=k\vec{v}$
つまり
 $(x_1-1、y_1+1、z_1-2)=k(2、-3、1)$
 $x_1-1=2k$  $x_1=2k+1$・・・①
 $y_1+1=-3k$  $y_1=-3k-1$・・・②
 $z_1-2=k$  $z_1=k+2$・・・③
また、点Hは平面Pを通るので
 $2x_1-3y_1+z_1+1=0$
①②③を代入して
 $2(2k+1)-3(-3k-1)+(k+2)+1=0$
 $14k+8=0$
 $k=-\cfrac{4}{7}$
 $x_1=-\cfrac{1}{7}$
 $y_1=\cfrac{5}{7}$
 $z_1=\cfrac{10}{7}$
すなわち
 $H(-\cfrac{1}{7}、\cfrac{5}{7}、\cfrac{10}{7})$
(2)
$|\vec{AH}|=|-\cfrac{4}{7}\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}|=\cfrac{4\sqrt{14}}{7}$

解説

(1)空間において直線の方程式を求めるのは難しいので、ベクトルを使って解きます。
 平面:$ax+by+cz+d=0$と垂直なベクトル(法線ベクトル)$\vec{v}$が以下と知っていれば
 かなり簡単に解けたと思います。
  $\vec{v}=(a、b、c)$
(2)平面と点の距離は、以下の式でも求めることができます。
 覚えておくと便利です。
  $AH=\cfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
 しかし、この問題では、求める距離のベクトルがわかっているので、
 そのままベクトルの大きさを計算しています。
<別解>
 $AH=\cfrac{|2\cdot1-3\cdot(-1)+1\cdot2+1|}{\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}}$
  $=\cfrac{8}{\sqrt{14}}$
  $=\cfrac{4\sqrt{14}}{7}$

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