15-01平面の法線ベクトルから平面の式を求める(難易度2)

次の3点を含む平面の法線ベクトルを求めよ。また、平面の方程式を求めよ。
$A(2、1、0)、B(3、0、2)、C(0、1、1)$

法線ベクトルと平面の方程式の関係を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AB}=(3-2、0-1、2-0)=(1、-1、2)$
$\vec{AC}=(0-2、1-1、1-0)=(-2、0、1)$
もとめる平面の法線ベクトルを$\vec{v}=(x、y、z)$とおくと
 $\vec{AB}\cdot \vec{v}=x-y+2z=0$
 $\vec{AC}\cdot \vec{v}=-2x+z=0$
これを解いて
 $z=2x$
 $y=5x$
よって、$\vec{v}=(1、2、5)$とする

$\vec{v}$と垂直な平面は、$x+2y+5z+d=0$と表すことができるので
 点$C$の座標を代入して
 $0+2+5+d=0$より、$d=-7$
すなわち、求める平面の方程式は
 $x+2y+5z-7=0$

解説

空間座標において、平面を表す方程式は、以下で表します。
 $ax+by+cz+d=0$
このとき、平面の法線ベクトルvは、以下で表せます。
 $\vec{v}=(a、b、c)$
3つの点を含む平面を求める場合、、以下のどちらの方法でも正解です。
ただ、法線ベクトルを求めてから、平面の方程式を求める方が、若干計算が楽です。
 ①まず、平面上のベクトルを求め、法線ベクトル$\vec{v}=(a、b、c)$を求める。
  その後、法線ベクトルから平面を$ax+by+cz+d=0$とおき、$1$点の座標を代入して$d$を求める。
 ②平面を$ax+by+cz+d=0$とおき、$3$点の座標を代入する。
  連立方程式として解き、$a、b、c、d$を求める。

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