13-014つの点が同一平面上となる定数を求める(難易度2)

$A(1、2、-2)、B(2、1、-1)、C(3、-1、1)、D=(-1、a、-2)$において、
$4$つの点が同じ平面上にあるとき、定数$a$を求めよ

一直線上になる条件を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AB}=(2-1、1-2、-1+2)=(1、-1、1)$
$\vec{AC}=(3-1、-1-2、1+2)=(2、-3、3)$
$\vec{AD}=(-1-1、a-2、-2+2)=(-2、a-2、0)$

$A、B、C、D$が同一平面上となる条件は
 $\vec{AD}=s\vec{AB}+t\vec{AC}$
つまり
 $-2=s+2t$
 $a-2=-s-3t$
 $0=s+3t$
これを解いて
 $t=-2、s=6$
 $a=2$

解説

点$A、B、C、D$が一直平面上になる条件は、以下です。
この問題では①の方が計算が楽なので利用します。
 ①$\vec{AD}=s\vec{AB}+t\vec{AC}$
 ②$\vec{OD}=s\vec{OA}+t\vec{OB}+u\vec{OC}、かつ、s+t+u=1$

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