12-01一直線上にあることを証明する(難易度2)

平行六面体$ABCD-A’B’C’D’$における$△BDA’$と$△CD’B’$の重心を$P、Q$とするとき、
$A、P、Q、C’$が同一線上にあることを証明せよ

一直線上になる条件を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AB}=\vec{x}、\vec{AD}=\vec{y}、\vec{AA’}=\vec{z}$とおくと
 $\vec{AP}=\cfrac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA’})=\cfrac{1}{3}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})$
 $\vec{AQ}=\cfrac{1}{3}(\vec{AC}+\vec{AD’}+\vec{AB’})=\cfrac{1}{3}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{y}+\vec{z}+\vec{x}+\vec{z})=\cfrac{2}{3}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})$
$3\vec{AP}=\cfrac{3}{2}\vec{AQ}=\vec{AC’}$より
 $A、P、Q、C’$が同一線上となる

解説

点$A、B、C$が一直線上になる条件は、以下です。
この問題では①の方が計算が楽なので利用します。
 ①$\vec{AB}=k\vec{AC}$
 ②$\vec{OC}=s\vec{OA}+t\vec{OB}、かつ、s+t=1$

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