11-01一直線上にある定数を求める(難易度1)

点$A(2、1、3)$、点$B(4、-1、a)$、点$C(-1、b、2)$が一直線上にあるとき、定数$a、b$を求めよ

一直線上になる条件を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AB}=(4-2、-1-1、a-3)=(2、-2、a-3)$
$\vec{AC}=(-1-2、b-1、2-3)=(-3、b-1、-1)$
$A、B、C$が一直線上となるので、$\vec{AB}=k\vec{AC}$ ($k\neq0$)となるので
 $2=-3k$
 $-2=(b-1)k$
 $a-3=-k$
これを解いて
 $k=-\cfrac{2}{3}$
 $a=\cfrac{11}{3}$
 $b=4$

解説

点$A、B、C$が一直線上になる条件は、以下です。
この問題では①の方が計算が楽なので利用します。
 ①$\vec{AB}=k\vec{AC}$
 ②$\vec{OC}=s\vec{OA}+t\vec{OB}、かつ、s+t=1$

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