09-01内分点とベクトルがなす角を求める(難易度2)

立方体$ABCD$-$EFGH$において、$AB、CG、HE$を$t:1-t$に内分する点を$P、Q、R$とする。
$\vec{AB}=\vec{x}$、$\vec{AD}=\vec{y}$、$\vec{AE}=\vec{z}$とするとき、以下について答えよ。辺の長さは$1$とする。
(1)$PQ、PR$を$\vec{x}、\vec{y}、\vec{z}$を用いて表せ
(2)$PQ$と$PR$がなす角$θ$を求めよ

(1)内分点のベクトルの求め方を思い出そう
(2)内積の求め方を思い出そう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













(1)
 $\vec{AP}=t\vec{AB}=t\vec{x}$
 $\vec{AQ}=t\vec{AG}+(1-t)\vec{AC}=t(x+\vec{y}+\vec{z})+(1-t)(\vec{x}+\vec{y})=\vec{x}+\vec{y}+t\vec{z}$
 $\vec{AR}=t\vec{AE}+(1-t)\vec{AH}=t\vec{z}+(1-t)(\vec{y}+\vec{z})=(1-t)\vec{y}+\vec{z}$
より
 $\vec{PQ}=\vec{AQ}-\vec{AP}=\vec{x}+\vec{y}+t\vec{z}-t\vec{x}=(1-t)\vec{x}+\vec{y}+t\vec{z}$
 $\vec{PR}=\vec{AR}-\vec{AP}=(1-t)\vec{y}+\vec{z}-t\vec{x}=-t\vec{x}+(1-t)\vec{y}+\vec{z}$
(2)
 $|\vec{PQ}|^2=|(1-t)\vec{x}+\vec{y}+t\vec{z}|^2$
  $=(1-t)^2|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+t^2|\vec{z}|^2+2(1-t)\vec{x}\cdot\vec{y}+2(1-t)t\vec{x}\cdot\vec{z}+t\vec{y}\cdot\vec{z}$
  $=(1-t)^2+1+t^2$
  $=2t^2-2t+2$
 $|\vec{PR}|^2=|-t\vec{x}+(1-t)\vec{y}+\vec{z}|^2$
  $=t^2|\vec{x}|^2+(1-t)^2|\vec{y}|^2+|\vec{z}|^2-2(1-t)t\vec{x}\cdot\vec{y}-2t\vec{x}\cdot\vec{z}+(1-t)t\vec{y}\cdot\vec{z}$
  $=t^2+(1-t)^2+1$
  $=2t^2-2t+2$
 $\vec{PQ}\cdot \vec{PR}$
  $=\{(1-t)\vec{x}+\vec{y}+t\vec{z}\}\cdot\{-t\vec{x}+(1-t)\vec{y}+\vec{z}\}$
  $=-(1-t)t|\vec{x}|^2+(1-t)|\vec{y}|^2+t|\vec{z}|^2+(1-t)^2\vec{x}\cdot\vec{y}-t\vec{x}\cdot\vec{y}+(1-t)\vec{y}\cdot\vec{z}+\vec{y}\cdot\vec{z}+(1-t)\vec{x}\cdot\vec{z}-t^2\vec{x}\cdot\vec{z}$
  $=-(1-t)t+(1-t)+t$
  $=t^2-t+1$
 
 $\cosθ=\cfrac{\vec{PQ}\cdot \vec{PR}}{|\vec{PQ}||\vec{PR}|}$
   $=\cfrac{t^2-t+1}{\sqrt{2(t^2-t+1)}\sqrt{2(t^2-t+1)}}$
   $=\cfrac{1}{2}$
 $0<θ<π$より
  $θ=\cfrac{π}{3}$

解説

(1)$AB$を$m:n$に内分する点は、以下となります。
  $\cfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$
 また、$m+n=1$のときは、分母がなくなるので、$t:1-t$に内分する方法をよく使います。
 $AB$を$t:1-t$に内分する点は、以下となります。
  $(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$

(2)2つのベクトルがなす角は、大きさを内積をつかって以下で表すことができます。
  $\cosθ=\cfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $
また、垂直なベクトルの内積は$0$になるので、$\vec{x}\cdot \vec{y}=\vec{y}\cdot \vec{z}=\vec{z}\cdot \vec{x}=0$になります。
あとは、計算を頑張るのみです。

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