10-01ベクトルの方程式から点の位置を求める(難易度3)

四面体$ABCD$に関して、$\vec{AP}+2\vec{BP}+3\vec{CP}+6\vec{DP}=\vec{0}$が成り立つとき
点$P$の位置はどのような位置となるか述べよ

内分点がわかるように変形しよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AB}=\vec{b}、\vec{AC}=\vec{c}、\vec{AD}=\vec{d}、\vec{AP}=\vec{p}$とおくと
$\vec{AP}+2\vec{BP}+3\vec{CP}+6\vec{DP}=\vec{0}$より
 $\vec{p}+2(\vec{p}-\vec{b})+3(\vec{p}-\vec{c})+6(\vec{p}-\vec{d})=\vec{0}$
 $12\vec{p}=2\vec{b}+3\vec{c}+6\vec{d}$
 $\vec{p}=\cfrac{1}{12}(5\cdot\cfrac{2\vec{b}+3\vec{c}}{5}+6\vec{d})$
$f=\cfrac{2\vec{b}+3\vec{c}}{5}$とおくと
 $\vec{p}=\cfrac{1}{12}(5\vec{f}+6\vec{d})$
 $\vec{p}=\cfrac{11}{12}\cfrac{5\vec{f}+6\vec{d}}{11}$
つまり
 $BC$を$3:2$に内分した点を$F$とし、$FD$を$6:5$に内分した点を$G$としたとき
 点$P$は$AG$を$11:1$に内分した点となる。

解説

三角形$ABC$に対して点$P$の位置関係を述べる問題の立体バージョンです。
この問題がわからない場合は、まずは、三角形の関係を理解しましょう。
その後、同じ考えを立体に適用しましょう。

<三角形の内分点の関係>
あるベクトル$\vec{p}$をほかの$2$つのベクトル$\vec{b}$と$\vec{c}$で表した場合、
以下のような関係になり、位置がわかります。
 $\vec{p}=\cfrac{t}{s+t}\cdot\cfrac{n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}$
 

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