07-012つのベクトルに垂直な単位ベクトルを求める(難易度2)

$\vec{a}=(1、2、-4)、\vec{b}=(-1、1、1)$の両方のベクトルに対して垂直な単位ベクトル$\vec{e}$を求めよ。

垂直とは、内積がどうなるか考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{e}=(x、y、z)$とおく
 $\vec{a}\cdot \vec{e}=x+2y-4z=0$・・・①
 $\vec{b}\cdot \vec{e}=-x+y+z=0$・・・②
 $|\vec{e}|^2=x^2+y^2+z^2=1$・・・③
①、②より
 $3y-3z=0、y=z$
 $x=2z$
これを③に代入して
 $4z^2+z^2+z^2=1、6z^2=1$
 $z=±\sqrt{\cfrac{1}{6}}$
 $y=±\sqrt{\cfrac{1}{6}}$
 $x=±2\sqrt{\cfrac{1}{6}}=±\sqrt{\cfrac{2}{3}}$
よって
 $e=(\sqrt{\cfrac{1}{3}}、\sqrt{\cfrac{1}{6}}、\sqrt{\cfrac{2}{3}})またはe=(-\sqrt{\cfrac{1}{3}}、-\sqrt{\cfrac{1}{6}}、-\sqrt{\cfrac{2}{3}})$

解説

$\vec{a}=(a_1、a_2、a_3)、\vec{b}=(b_1、b_2、b_3)$が垂直なとき、以下の関係が成り立ちます
 $\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=0$

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