06-01空間上の三角形の面積を求める(難易度2)

原点$O$、点$A(2、1、-1)$、点$B(-1、1、1)$からなる三角形$OAB$の面積$S$を求めよ

角度を使った面積の求め方を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$、$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角を$θ$とおく
 $\cosθ=\cfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
 $\sin=\sqrt{1-\cos^2θ}$
 $|\vec{a}|^2=2^2+1^2+(-1)^2=6$
 $|\vec{b}|^2=(-1)^2+1^2+1^2=3$
 $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot(-1)+1\cdot1-1\cdot1=-2$
ここで、三角形$OAB$の面積$S$は 
 $S=\cfrac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sinθ$
  $=\cfrac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-\cos^2θ}$
  $=\cfrac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sqrt{1-\cfrac{(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2}}$
  $=\cfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$
  $=\cfrac{1}{2}\sqrt{6\cdot3-(-2)^2}$
  $=\cfrac{\sqrt{14}}{2}$

解説

三角形の面積は、$S=\cfrac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sinθ$を変形させることで、
以下の式で求めることができます。
 $S=\cfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\cdot \vec{b})^2}$
覚えていない場合は、$\cosθ$から$\sinθ$を求めて、面積を求める方法でもよいです。
ただ、少し、計算量が多くなります。

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