04-01空間ベクトルの大きさの最小値を求める(難易度2)

$\vec{a}=(1、-1、2)、\vec{b}=(-1、-1、1)$のとき、$|\vec{a}+t\vec{b}|$が最小となる$t$を求めよ

空間ベクトルの大きさの求め方を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{a}+t\vec{b}=(1、-1、2)+t(-1、-1、1)=(1-t、-1-t、2+t)$
$|\vec{a}+t\vec{b}|^2=(1-t)^2+(-1-t)^2+(2+t)^2$
 $=t^2-2t+1+t^2+2t+1+t^2+4t+4$
 $=3t^2+4t+6$
 $=3(t+\cfrac{2}{3})^2+\cfrac{14}{3}$
$|\vec{a}+t\vec{b}|>0$のため
 $|\vec{a}+t\vec{b}|は、t=-\cfrac{2}{3}$のとき最小値$\cfrac{14}{3}$となる

解説

$\vec{a}=(a_1、a_2、a_3)$のとき
 $|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$
となります。
ただし、方程式を解くときなどは計算をしやすいように両辺を二乗して
 $|\vec{a}|^2={a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$
を使います。

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