02-014点から等しい距離の点を求める(難易度2)

以下の4点から等しい距離となる点$M$を求めよ
$O(0、0、0)、A(2、1、-2)、B(1、-1、0)、C(-1、0、2)$

空間座標における距離の求め方を思い出そう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$M$の座標を$(x、y、z)$とおく
$OM=AM=BM=CM$より$OM^2=AM^2=BM^2=CM^2$となるので
 $OM^2=AM^2$より
  $x^2+y^2+z^2=(x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2$
  $x^2+y^2+z^2=x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2+4z+4$
  $-4x-2y+4z+9=0$・・・①
 $OM^2=BM^2$より
  $x^2+y^2+z^2=(x-1)^2+(y+1)^2+z^2$
  $x^2+y^2+z^2=x^2-2x+1+y^2+2y+1+z^2$
  $-2x+2y+2=0$
  $-x+y+1=0$・・・②
 $OM^2=CM^2$より
  $x^2+y^2+z^2=(x+1)^2+y^2+(z-2)^2$
  $x^2+y^2+z^2=x^2+2x+1+y^2+z^2-4z+4$
  $2x-4z+5=0$・・・③
①②③を解いて
 $x=-4$
 $y=3$
 $z=\cfrac{13}{4}$
すなわち、$M$の座標は
 $M(-4、3、\cfrac{13}{4})$

解説

$A(x_1、y_1、z_1)、B(x_2、y_2、z_2)$の$2$点間の距離は以下の式で求めることができます。
 $AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$
根号があると方程式を解くのが難しいので、ほとんどの場合で両辺を$2$乗して使います。

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