15-01直線の交点をベクトルで求める(難易度3)

平行四辺形$ABCD$において、$AB$を$2:1$に内分する点を$E$、$DC$を$1:2$に内分する点を$F$とする。
また、$\vec{AB}=\vec{b}、\vec{AD}=\vec{d}$とし、$EC$と$BF$の交点$P$とするとき、$\vec{AP}$を$\vec{b}$と$\vec{d}$で表せ。

$EC$を内分する点と$BF$を内分する点が$P$になると考えよう。


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













$\vec{AE}=\cfrac{2}{3}\vec{AB}=\cfrac{2}{3}\vec{b}$
$\vec{AF}=\cfrac{2\vec{AD}+\vec{AC}}{1+2}=\cfrac{2\vec{d}+(\vec{b}+\vec{d})}{3}=\cfrac{1}{3}\vec{b}+\vec{d}$
$EP:PC=s:1-s、BP:PD=t:1-t$とすると

 $\vec{AP}=s\vec{AC}+(1-s)\vec{AE}=s(\vec{b}+\vec{d})+(1-s)\cfrac{2}{3}\vec{b}=(\cfrac{2}{3}+\cfrac{1}{3}s)\vec{b}+s\vec{d}$
 $\vec{AP}=t\vec{AD}+(1-t)\vec{AB}=t(\cfrac{1}{3}\vec{b}+\vec{d})+(1-t)\vec{b}=(1-\cfrac{2}{3}t)\vec{b}+t\vec{d}$
つまり
 $\cfrac{2}{3}+\cfrac{1}{3}s=1-\cfrac{2}{3}t$
 $t=s$
これらを解いて
 $s=\cfrac{1}{3}$
 $t=\cfrac{1}{3}$
すなわち
 $\vec{AP}=\cfrac{7}{9}\vec{b}+\cfrac{1}{3}\vec{d}$

解説

この問題は、2つの直線の交点を求める基本的な問題です。
交点$P$は、$EC$を$s:1-s$に内分した点と、$BF$を$t:1-t$に内分した点が一致すると考えて解きます。
$s$と$1-s$にする理由は、$s$と$1-s$を足すと$1$になりので分母がなくなり、計算が楽になるためです。

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