14-01直線の垂線の足とその距離を求める(難易度3)

点$A(4、5)$から直線$l:2x+3y-6=0$に下した垂線の足の座標$H$をベクトルを用いて求めよ。
また、点$A$と直線$l$の距離を求めよ。

直線lのベクトルと、AHのベクトルの関係を考えよう


解答は下の方にあります。
ボタンを押すとココに移動します。













点$H$の座標を$H(t、s)$とおくと
直線$l$の法線ベクトルは$\vec{n}=(2、3)$のため
$\vec{AH}=k\vec{n}$($k$は定数)と表すことができる。
つまり
 $(t-4,s-5)=k(2、3)$
 $t-4=2k$・・・①
 $s-5=3k$・・・②
また、$H$は直線$l$上の点のため
 $2t+3s-6=0$・・・③
③に①②を代入して
 $2(2k+4)+3(3k+5)-6=0$
 $4k+8+9k+15-6=0$
 $13k=-17$
 $k=-\cfrac{17}{13}$
①②に代入して
 $t=\cfrac{-17\cdot2+4\cdot13}{13}=\cfrac{-34+42}{13}=\cfrac{18}{13}$
 $s=\cfrac{-17\cdot3+5\cdot13}{13}=\cfrac{-51+65}{13}=\cfrac{14}{13}$
すなわち$H$の座標は
 $(\cfrac{18}{13}、\cfrac{14}{13})$
点$A$から直線$l$までの距離は$|\vec{AH}|$となるので
 $|\vec{AH}|=\cfrac{17}{13}\sqrt{2^2+3^2}$
 $=\cfrac{17\sqrt{13}}{13}$

解説

この問題では、求める座標をHとおき、以下の条件を方程式にして解きます。
 ①直線上の点であること
 ②直線と垂直であること

ベクトルを使わない解き方としては、
直線:$ax+by+c=0$と点$A(x_1,y_1)$の距離が
 $\cfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
となる公式を使うこともできます。
この問題では、以下となり、答えが一致します。
$AH=\cfrac{|2\cdot4+3\cdot5-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}$
 $=\cfrac{17}{\sqrt{13}}$

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